Nombre refactorisable

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En mathématiques, un nombre refactorisable ou nombre tau est un entier n qui est divisible par le nombre total de ses diviseurs, ou en parlant algébriquement, n est tel que \tau(n)|n\,. Les premiers nombres refactorisables sont listés dans la suite A033950 de l'OEIS 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96

Cooper et Kennedy ont démontré que les nombres refactorisables ont pour densité naturelle zéro. Zelinsky a démontré que trois entiers consécutifs ne peuvent pas être tous refactorisables[1]. Colton a démontré qu'il n'y a pas de nombre refactorisable parfait. L'équation pgcd(n, x) = \tau(n)\, possède des solutions seulement si n est un nombre refactorisable.

Il existe encore des problèmes non résolus en rapport avec les nombres refactorisables. Colton se demanda s'il existe des nombres arbitrairement grands n tel que n et n + 1 sont tous deux refactorisables ? Zelinsky s'est demandé s'il existe un nombre refactorisable n_0 \equiv a \mod m, il existe nécessairement un n > n_0 tel que n est refactorisable et n  \equiv  a \mod m ?

Histoire[modifier | modifier le code]

Définis d'abord par Curtis Cooper et Robert E. Kennedy[2] où ils montrèrent que les nombres tau possèdent une densité naturelle zéro, ils furent redécouverts plus tard par Simon Colton en utilisant un programme informatique de sa conception qui invente et juge des définitions provenant d'une variété d'endroits des mathématiques tels que la théorie des nombres et la théorie des graphes [1]. Colton a appelé ces nombres "refactorisables". Tandis que les programmes informatiques ont découvert les preuves avant, cette découverte fut une des premières fois où un ordinateur a découvert une idée nouvelle ou précédemment obscure. Colton a démontré beaucoup de résultats à propos des nombres refactorisables, montrant qu'il en existait une infinité et démontrant une variété de restrictions congrues sur leur distribution. Colton fut alerté seulement plus tard que Kennedy et Cooper avait précédemment étudié le sujet.

Références[modifier | modifier le code]

  1. J. Zelinsky, "Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results," Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Article 02.2.8
  2. Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. "Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437." Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383-386, 1990