Nombre premier super-singulier

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En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie algébrique, un nombre premier super-singulier est un nombre premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles ; il n'en existe que 15.

Définition géométrique[modifier | modifier le code]

Pour un entier naturel donné n, soit \Gamma(n)\, le n-ème sous-groupe de congruence du groupe modulaire \Gamma, et soit w_n\, l'involution de Fricke définie par la matrice bloc [[0, −1], [n, 0]]. De plus, soit X_0(n)\, la courbe modulaire compactifiée de Y_0(n) = \Gamma(n)/ H (où H désigne le demi-plan de Poincaré), et pour un nombre premier p quelconque, posons X_0^+(p) = X_0(p)/w_p\,.

Alors, p est super-singulier si le genre de X_0^+(p)\, est zéro.

Définition algébrique[modifier | modifier le code]

Il est aussi possible de définir les nombres premiers super-singuliers à l'aide de la théorie des nombres en les associant aux courbes elliptiques super-singulières définies sur la clôture algébrique du corps fini GF(p) qui ont leur j-invariant dans GF(p).

Liste des nombres premiers super-singuliers[modifier | modifier le code]

Il existe exactement quinze nombres premiers super-singuliers (voir suite A002267 de l'OEIS):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Il peut aussi être montré que les nombres super-singuliers sont exactement les facteurs premiers de l'ordre du groupe Monstre M.

Les nombres premiers super-singuliers sont des nombres premiers de Chen.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]