Nombre de Wieferich

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En mathématiques, un nombre premier de Wieferich est un nombre premier p tel que p2 divise 2p–1 – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier p > 2 divise, entre autres, 2p–1 – 1). Les nombres premiers de Wieferich furent décrits en premier par Arthur Wieferich (en) en 1909 dans ses travaux[1] relatifs au dernier théorème de Fermat.

La recherche des nombres premiers de Wieferich[modifier | modifier le code]

Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1093 et 3511 (suite A001220 de l'OEIS), trouvés par Waldemar Meissner en 1913[2] et N. G. W. H. Beeger (en) en 1922[3], respectivement ; si d'autres existent, ils doivent être supérieurs à 1,47.1017 (meilleur résultat connu en 2014)[4],[5]. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini. Joseph H. Silverman (en) a seulement pu démontrer, en 1988[6], que si la conjecture abc est vraie, alors pour tout entier a > 1, il existe une infinité de nombres premiers p tel que p2 ne divise pas ap–1 – 1 (et donc qu'il existe une infinité de nombres premiers qui ne sont pas de Wieferich).

Propriétés des nombres premiers de Wieferich[modifier | modifier le code]

On sait qu'un facteur premier p d'un nombre de Mersenne Mq = 2q – 1 ne peut être premier de Wieferich que si p2 divise Mq ; on en déduit immédiatement qu'aucun nombre de Mersenne premier n'est premier de Wieferich. Aussi, si p est un nombre premier de Wieferich, alors 2^{p^2} \equiv 2\, \mod p^2\,.

Les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat[modifier | modifier le code]

Le théorème suivant connectant les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat fut prouvé par Wieferich en 1909 :

Soit p un nombre premier, et soient x, y, z des entiers tels que xp + yp + zp = 0 et que p ne divise pas le produit xyz. Alors p est un nombre premier de Wieferich.

En 1910, Mirimanoff put étendre le théorème en montrant que, si les hypothèses du théorème sont vraies pour un certain nombre premier p, alors p doit aussi diviser 3p–1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wieferich prime » (voir la liste des auteurs)

  1. (de) A. Wieferich, « Zum letzten Fermat'schen Theorem », J. reine angew. Math., vol. 136,‎ 1909, p. 293-302.
  2. (de) W. Meissner, « Über die Teilbarkeit von 2pp − 2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093 », Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Berlin, 1913, p. 663-667.
  3. (en) N. G. W. H. Beeger, « On a new case of the congruence 2p − 1 = 1 (p2) », Messenger of Mathematics (en), vol. 51,‎ 1922, p. 149-150.
  4. (en) F. G. Dorais et D. Klyve, « A Wieferich Prime Search Up to 6.7e », Journal of Integer Sequences, vol. 14, no 9,‎ 2011 (lire en ligne).
  5. (en) Sur PrimeGrid : résumé de l'historique ; état actuel de la recherche
  6. (en) J. H. Silverman, « Wieferich's criterion and the abc-conjecture », Journal of Number Theory, vol. 30, n° 2, 1988, p. 226-237.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]