Nombre de Wall-Sun-Sun

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En mathématiques, un nombre de Wall-Sun-Sun p > 5 est tel que p2 divise F(p-(p|5)), où F(n) est le n-ième nombre de Fibonacci et où (a|b)\, est le symbole de Legendre de a et b.

Les nombres de Wall-Sun-Sun sont nommés en l'honneur des mathématiciens D. D. Wall, Zhi Hong Sun et Zhi Wei Sun.

Nombre de Wall-Sun-Sun premier[modifier | modifier le code]

Z. H. Sun et Z. W. Sun ont montré en 1992 que si le premier cas du dernier théorème de Fermat était faux pour un certain nombre premier p, alors p serait un nombre de Wall-Sun-Sun premier. Pour ce résultat, antérieur à la démonstration d'Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat, la recherche des nombres de Wall-Sun-Sun premiers fut aussi la recherche d'un contre exemple à cette conjecture centenaire.

Existence et dénombrement[modifier | modifier le code]

Aucun nombre premier de Wall-Sun-Sun n'est connu à cette date ; s'il en existe, il a été montré en 2007 qu'ils doivent être supérieurs à 1014[1].

En décembre 2012, aucun tel nombre premier n'avait été trouvé jusqu'à 1,5.1016[2]. Cependant, il a été conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wall-Sun-Sun, mais la conjecture reste non prouvée[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Mathematics of Computation, vol. 76, no 260,‎ 2007, p. 2087–2094 (lien DOI?, lire en ligne)
  2. (en)www.primegrid.com Wall–Sun–Sun Prime Search project at PrimeGrid.
  3. (en)Jiří Klaška, « Short remark on Fibonacci−Wieferich primes », Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, vol. 15, no 1,‎ 2007, p. 21–25 (lire en ligne).

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