Nombre de Pythagore

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Constante de Pythagore ni Nombre premier de Pythagore.

En algèbre, le nombre de Pythagore d'un corps commutatif F est le plus petit entier naturel p tel que (dans F) toute somme finie de carrés soit somme de p carrés, si de tels entiers p existent, et l'infini sinon. On le note p(F). Le corps F est dit pythagoricien si p(F) = 1, c'est-à-dire si (dans F) toute somme de carrés est un carré.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout entier strictement positif est le nombre de Pythagore d'au moins un corps formellement réel[2].
  • Le nombre de Pythagore d'un corps est relié à son niveau par p(F) ≤ s(F) + 1[3] et même, si F n'est pas formellement réel s(F) ≤ p(F) ≤ s(F) + 1[4],[5],[6]. Par conséquent, si F n'est pas formellement réel et si p(F) est fini alors c'est soit une puissance de 2, soit une puissance de 2 plus 1, et toutes ces valeurs sont atteintes[7]. Par exemple avec 20 : pour tout corps quadratiquement clos, s = p = 1, tandis que pour le corps fini Fq, si q ≡ 1 mod 4 alors s = 1 et, comme vu plus haut, p = 2.
  • Le nombre de Pythagore d'un corps est relié à sa hauteur[5] : si F est formellement réel, h(F) est la plus petite puissance de 2 majorant p(F) (ou l'infini si p(F) est infini) et sinon, h(F) est égal à 2s(F) (donc à 2p(F) ou 2(p(F) – 1), d'après ce qui précède).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pythagoras number » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 67),‎ 2005 (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 36.
  2. Lam 2005, p. 398.
  3. (en) A. R. Rajwade, Squares, CUP, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (no 171),‎ 1993 (ISBN 978-0-521-42668-8, lire en ligne), p. 44.
  4. Rajwade 1993, p. 228.
  5. a et b Lam 2005, p. 395.
  6. (de) Beweis sur Wikibooks.
  7. Lam 2005, p. 396.