Nombre de Kostka

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Les trois tableaux de Young semi-standard de forme \lambda=(3,2) et de poids \mu=(1,1,2,1). Leur nombre est le nombre de Kostka K_{\lambda\mu}=3.

En mathématiques, le nombre de Kostka K_{\lambda\mu}, paramétré par deux partition d'un entier \lambda et \mu, est un entier naturel qui est égal au nombre de tableaux de Young semi-standard de forme of shape \lambda et de poids \mu. Ils ont été introduits par le mathématicien Carl Kostka dans ses études des fonctions symétriques[1],[2].

Par exemple, si \lambda=(3,2) et \mu=(1,1,2,1), le nombre de Kostka K_{\lambda\mu} compte le nombre de manières de remplir une collection de 5 cellules alignée à gauche, avec 3 cellules dans la première ligne et 2 dans la seconde, et contenant une fois les entiers 1 et 2, deux fois l'entier 3 et une fois l'entier 4. De plus, les entiers doivent être strictement croissants en colonne, et faiblement croissants en ligne. Les trois tableaux possibles sont montrés sur la figure, et on a donc K_{(3,2)(1,1,2,1)}=3.

Exemples et cas particuliers[modifier | modifier le code]

Pour toute partition \lambda, le nombre de Kostka K_{\lambda\lambda} est égal à 1 : c'est l'unique manière de remplir le diagramme de Young de forme \lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m) avec \lambda_1 exemplaires du nombre 1, \lambda_2 exemplaires de 2, etc, tout en respectant les conditions de croissance sur les lignes et les colonnes : tous les 1 sont placés dans la première ligne, les 2 dans la deuxième ligne, etc. Un tel tableau est parfois appelé le tableau de Yamanouchi de forme \lambda.

Le nombre de Kostka K_{\lambda\mu} est positif ou, en d'autres termes, il existe au moins un tableau de Young de forme \lambda et de poids \mu si et seulement si \lambda et \mu sont toutes deux des partitions d'un même entier, et si \lambda est plus grande que \mu dans l'ordre de domination (en), c'est-à-dire si \lambda_1+\cdots+\lambda_k\ge \mu_1+\cdots+\mu_k pour tout k[3].

Il n'existe en général pas de formules closes pour les nombres de Kostka. Quelques cas particuliers sont connus. Par exemple, si \mu = (1, 1, 1, \ldots, 1), alors un tableau de Young semi-standard de ce poids \mu est un tableau de Young standard, et le nombre de tableaux de Young standard de forme \lambda est donnée par la formule des équerres (en) des tableaux de Young.

Nombres de Kostka et fonctions symétriques[modifier | modifier le code]

En plus de la définition purement combinatoire donnée ci-dessus, les nombres de Kostka peuvent également être définis comme les coefficients dans l'expression d'un polynôme de Schur s_\lambda comme combinaison linéaire de fonctions symétriques monomiales m_\mu. Ces fonctions sont définies, pour une partition donnée \mu=(\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_n), par[4] :

m_\mu=\sum x_{i_1}^{\mu_1}x_{i_2}^{\mu_2}\cdots x_{i_n}^{\mu_n}

où la sommation est sur toutes les permutations (i_1,i_2,\ldots,i_n) des entiers de 1 à n[5].

L'expression est alors :

s_\lambda= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu.\
Exemple

Les nombres de Kostka pour les sept partitions en au plus trois termes sont :

  • K_{()()} = 1. Ici () dénote la partition vide.
  • K_{(1)(1)} = 1
  • K_{(2)(2)}=K_{(2)(1,1)}= 1
  • K_{(1,1)(1,1)} = 1, K_{(1,1)(2)}=0
  • K_{(3)(3)} = K_{(3)(2,1)}= K_{(3)(1,1,1)}=1
  • K_{(2,1) (3)} =0,  K_{(2,1) (2,1)}=1,  K_{(2,1),(1,1,1)}=2
  • K_{(1,1,1) (3)} =K_{(1,1,1) (2,1)}=0,  K_{(1,1,1)(1,1,1)}=1

Ces valeurs sont les coefficients des développements des polynômes de Schur dans la base des fonctions symétriques monomiales :

  • s_{()} = m_{()} = 1 (l'indice est la partition vide)
  • s_{1} = m_{1}
  • s_{2} = m_{2} +m_{11}
  • s_{11} = m_{11}= 1
  • s_{3} = m_{3} +m_{21}+m_{111}= 1
  • s_{21} = m_{21}+2m_{111}= 1
  • s_{111} = m_{111}= 1

Kostka[6] donne les tables de ces nombres pour les partitions d'entiers inférieurs ou égaux à 8.

Nombres de Kostka et théorie des représentations[modifier | modifier le code]

Les liens entre la théorie des fonctions symétriques et la théorie des représentations montrent que les nombres de Kostka expriment également la décomposition du module M_\mu en termes des représentations V_\lambda correspondant aux caractères de s_\lambda, c'est-à-dire que

M_\mu = \bigoplus_{\lambda} K_{\lambda \mu} V_\lambda.

Quant aux représentations du groupe général linéaire \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}), le nombre de Kostka K_{\lambda\mu} compte la dimension de l'espace de poids (en) correspondant à \mu dans la représentation irréductible V_\lambda (ici \mu et \lambda sont supposées avoir au moins n termes).

Généralisations[modifier | modifier le code]

Les nombres de Kostka sont des valeurs particulières des polynômes de Kostka (en) en une ou deux variables :

K_{\lambda\mu}= K_{\lambda\mu}(1)=K_{\lambda\mu}(0,1).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Kostka 1882.
  2. Stanley 1999, p. 398.
  3. Stanley 1999, p. 315.
  4. Lascoux 1984, p. 1.
  5. Si la partition n'a qu'un seul terme, on retrouve les sommes de Newton.
  6. Kostka 1882, pages 118-120.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Source de la traduction[modifier | modifier le code]