Nombre de Keith

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En mathématiques récréatives, un nombre de Keith (en) ou nombre repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) est un entier naturel qui apparaît sous forme d'un terme dans une suite récurrente linéaire comportant les chiffres du nombre initial.

Étant donné un nombre à n chiffres

N=\sum_{i=0}^{n-1} 10^i  {d_i},

formons une suite S_N avec les termes initiaux d_{n-1}, d_{n-2},\ldots, d_1, d_0 et de terme général égal à la somme des n termes précédents. Si le nombre N apparaît dans la suite S_N, alors N est dit nombre de Keith.

Par exemple, prenons 197 : 1 + 9 + 7 = 17 ; 9 + 7 + 17 = 33 ; 7 + 17 + 33 = 57, etc.

On obtient alors la suite : 1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197, 361... dans laquelle se trouve le nombre 197.

Les dix plus petits nombres de Keith sont 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537 (suite A007629 de l'OEIS).

On ignore actuellement s'il existe une infinité de nombres de Keith ou non. Il existe seulement 71 nombres de Keith inférieurs à 1019, ce qui signifie qu'ils sont beaucoup plus rares que les nombres premiers.


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