Nombre de Giuga

En mathématiques, un nombre de Giuga est un entier naturel $n$ composé qui satisfait à la congruence

$\sum_{j=1}^{j=n-1} j^{n-1} \equiv -1 \pmod n.$

D'après le petit théorème de Fermat les nombres premiers satisfont à la congruence. Giuga conjectura en 1950 que l'ensemble des nombres composés satisfaisant à la congruence est vide, c'est la conjecture d'Agoh-Giuga. Les nombres de Giuga sont des nombres de Carmichael (donc sans carré).

Caractérisation des nombres de Giuga

Un nombre $n$ est un nombre de Giuga si et seulement si

• il est composé
• $p^2(p-1)| n-p$ pour tout facteur premier $p$ de $n$.

Majoration de la fonction de comptage des nombres de Giuga

La fonction $G$ qui compte le nombre de nombres de Giuga inférieurs à $x$ a été étudiée et Tipu a montré que $G(x) = O(x^{1/2}\ln x)$.

Cette majoration a été améliorée par Luca, Pomerance et Shparlinski :

$G(x) = O\left(\frac{x^{1/2}}{\ln^2 x}\right).$

Nombres faiblement de Giuga

Certains auteurs appellent « nombres de Giuga » ce que Luca, Pomerance et Shparlinski préfèrent nommer weak Giuga numbers. Ce sont les entiers composés vérifiant la propriété plus faible : $p^2|n-p$ pour tout facteur premier $p$ de $n$. Contrairement aux précédents, on en connaît des exemples : suite A007850 de l’OEIS. Ces nombres sont exactement les nombres composés solutions de l'équation n' = an+1 avec (a entier naturel) où n' désigne la dérivée arithmétique.