Nombre d'Euler

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Les nombres d'Euler En forment une suite d'entiers naturels[1] définis par le développement en série de Taylor suivant :

\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=0}^{\infin}  E_n \frac{x^n}{n!}

On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres zig-zag.

Premiers nombres d'Euler[modifier | modifier le code]

Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous nuls. Ceux d'indice pair (suite A000364 de l'OEIS) sont strictement positifs. Les premières valeurs sont :

E_0 = 1
E_2 = 1
E_4 = 5
E_6 = 61
E_8  = 1 385
E_{10} = 50 521
E_{12} = 2 702 765
E_{14} = 199 360 981
E_{16} = 19 391 512 145
E_{18} = 2 404 879 675 441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante (qui est la fonction dans la définition) :

\frac{1}{\cos x} = 1 + E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} + E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots

et aussi (avec des signes) dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

\frac{1}{\cosh x} = 1 - E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} - E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire. Une configuration zig-zag de taille n est une liste de n nombres réels z_1,\dots,z_n tels que

z_1 > z_2 < z_3 > z_4 \dots.

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.

Formules explicites[modifier | modifier le code]

Sommations[modifier | modifier le code]

Une formule explicite pour les nombres d'Euler est [réf. souhaitée] :

E_{2n}= (-1)^ni\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k {k\choose j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k}

i est un nombre complexe tel que i2 = −1.

Sommes sur les partitions[modifier | modifier le code]

Le nombre E2n s'exprime comme une somme sur les partitions paires de 2n[2] :

  E_{2n} = (-1)^n (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n}~  \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
	\delta_{n,\sum mk_m }  \left( \frac{-1~}{2!} \right)^{k_1} \left( \frac{-1~}{4!} \right)^{k_2}
	\cdots \left( \frac{-1~}{(2n)!} \right)^{k_n} ,

et aussi comme une somme sur les partitions impaires de 2n − 1[3] :

 	 E_{2n} =  - (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
	 \left( \begin{array} {c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
	\delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }   \left( \frac{-1~}{1!} \right)^{k_1}  \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
	   \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n}   ,

où, dans les deux cas,  K =k_1 + \cdots + k_n et

 \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
          \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}

est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux ki tels que  2k_1 + 4k_2 + \cdots +2nk_n=2n et  k_1 + 3k_2 + \cdots +(2n-1)k_n=2n-1, respectivement.

Par exemple,


\begin{align}
E_{10} & = -10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!8!} + \frac{2}{4!6!}
	- \frac{3}{2!^2 6!}- \frac{3}{2!4!^2} +\frac{4}{2!^3 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\
& = -9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^27!} + \frac{6}{1!3!5!}
	+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^45!} -\frac{10}{1!^33!^2} + \frac{7}{1!^6 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\
& = 50\,521.
\end{align}

Avec un déterminant[modifier | modifier le code]

E2n est aussi donné par le déterminant[réf. souhaitée] :


\begin{align}
E_{2n} &= (2n)!~ \begin{vmatrix}   \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                                                             \frac{1}{4!}&  \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                                                 \vdots & ~  &  \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                                               \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} &  1\\
                                                               \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots &  \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler number » (voir la liste des auteurs)

  1. Certains auteurs utilisent le développement de 1/coshx, pour lequel les coefficients ont des signes alternés.
  2. (en) David C. Vella, « Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers », Integers, vol. 8, no 1,‎ 2008, A1 (lire en ligne).
  3. (en) Jerome Malenfant, 2011, « Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers », v6.