Nombre d'Eisenstein premier

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En mathématiques, un nombre d'Eisenstein premier ou nombre premier d'Eisenstein est un élément a + bω irréductible (ou de manière équivalente premier[1]) de l'anneau des entiers d'Eisenstein : ce n'est pas l'une des six unités (±1, ±ω, ±ω2) et ses seuls diviseurs dans l'anneau sont les unités et les produits de a + bω par une unité.

Ici, ω désigne la racine primitive cubique de l'unité (– 1 + i3)/2.

Les nombres d'Eisenstein ont été nommés en l'honneur du mathématicien Gotthold Eisenstein.

Détermination[modifier | modifier le code]

Les nombres d'Eisenstein premiers sont :

Exemples[modifier | modifier le code]

Les dix plus petits nombres premiers (usuels) congrus à 2 modulo 3 sont 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53 et 59[2]. Depuis 2007, le plus grand connu est 19 249 × 213 018 586 + 1, découvert par Konstantin Agafonov[3]. C'est actuellement (en février 2015) le onzième plus grand nombre premier connu[4].

À conjugaison près et produit près par les six unités, les seuls nombres d'Eisenstein premiers de module inférieur à 7 sont, outre 2 et 5 : 2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + 3ω et 7 + ω (de normes respectives 3, 7, 13, 19, 31, 37 et 43). Les nombres d'Eisenstein de norme 3 ont ceci de remarquable que chacun est produit de son conjugué par une unité : 3 = (2 + ω)(2 + ω) = –(2 + ω)2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Eisenstein prime » (voir la liste des auteurs).

  1. Cet anneau est euclidien donc principal donc factoriel, c'est-à-dire que tous ses éléments irréductibles sont premiers.
  2. Pour les 1 000 plus petits, voir la suite A003627 de l'OEIS.
  3. (en) Chris Caldwell, « The Top Twenty: Largest Known Primes », sur Prime Pages.
  4. Les dix premiers nombres premiers plus grands sont des nombres premiers de Mersenne découverts par GIMPS.

Articles connexes[modifier | modifier le code]