Nombre chanceux d'Euler

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En mathématiques, un nombre chanceux d'Euler est un entier p > 1 tel que :

P_p(n)=n^2+n+p est un nombre premier pour tout n=0,1,...,p-2[1].

Formulation équivalente[2], parfois rencontrée :

Q_p(n)=n^2-n+p est un nombre premier pour tout n=1,...,p-1[3] ou encore[4] pour tout n=0,1,...,p-1.

Leonhard Euler en a identifié six :

p=2,3,5,11,17,41[5]

et leur dénomination nombre chanceux d'Euler a été proposée par François Le Lionnais[6].

Il a été prouvé en 1967 qu'il n'y en a pas d'autres. En effet, Rabinowitch[7],[8] avait démontré qu'un entier p > 1 est chanceux si et seulement si 4p – 1 (l'opposé du discriminant du polynôme quadratique Pp) est un nombre de Heegner – c'est-à-dire si l'anneau ℤ[(1 + i4p – 1)/2] des entiers du corps quadratique ℚ[i4p – 1] est principal – or la liste des nombres de Heegner s'est avérée réduite aux neuf nombres 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163, dont les trois premiers ne sont pas de la forme 4p – 1 avec p > 1.

Le plus grand nombre chanceux d'Euler est donc p = 41. Les 40 nombres premiers P41(n) pour n = 0, 1, … ,39 sont : 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, …, 1447, 1523, 1601. Le polynôme n² + n + 41 a d’ailleurs la particularité de fournir de nombreux nombres premiers pour n > 41, et il n'existe pas d'autre polynôme de la forme n² + an + b, avec des coefficients a et b entiers positifs et inférieurs à 10 000, qui produise une plus longue suite de nombres premiers[9].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucky numbers of Euler » (voir la liste des auteurs)

  1. n = p – 1 est exclu d'office puisque Pp(p – 1) = p2.
  2. Qp(n) = Pp(n – 1).
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Lucky Number of Euler », MathWorld.
  4. Qp(0) = Qp(1).
  5. suite A014556 de l'OEIS.
  6. François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Paris, Hermann, 1983, p. 88 et 144.
  7. (de) G. Rabinowitch, « Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern », dans Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge), vol. 1,‎ 1913 (lire en ligne), p. 418-421.
  8. (de) Georg Rabinowitsch, « Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 142,‎ 1913, p. 153-164 (lire en ligne).
  9. Gérard Villemin, « Nombres – Curiosités, théorie et usages ».

Article connexe[modifier | modifier le code]

Formules pour les nombres premiers