Nombre polygonal centré

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
(Redirigé depuis Nombre centré)
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Nombre polygonal.

En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par une figure plane ayant un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre formant des couches polygonales régulières successives avec un nombre constant de côtés. Le côté d'un polygone d'une couche contient un point de plus que le côté du polygone de la couche précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre k-gonal centré, à partir de la deuxième couche polygonale, chaque couche contient k points de plus que la couche précédente.

Des exemples de nombres centrés sont :

Pour tout entier k ≥ 3, le premier nombre k-gonal centré est 1. Le n-ième, qui s'obtient en ajoutant (n – 1)k au précédent, est donc 1 + k fois la somme des entiers de 1 à n – 1, ou encore 1 + k fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire[1] :

C_{k,n}=1+k+2k+\ldots(n-1)k=1+k\frac{n(n-1)}2=1+kT_{n-1}.

Pour tout entier k ≥ 3, le nombre Ck,1 = 1 = Pk,1 est à la fois k-gonal et k-gonal centré. Le nombre suivant possédant cette double propriété est

C_{k,k}={(k+1)(k^2-2k+2)\over2}=P_{k,k+1},

ce qui montre que 10 est à la fois triangulaire et triangulaire centré, 25 est à la fois carré et carré centré, etc.

Alors qu'un nombre premier n'est jamais polygonal régulier (sauf bien sûr le deuxième nombre k-gonal), les nombres premiers apparaissent assez souvent dans les suites de nombres polygonaux centrés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Elena Deza et Michel Marie Deza (en), Figurate Numbers, World Scientific,‎ 2012 (lire en ligne), p. 49.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :