Nombre amical

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Deux nombres entiers sont dits nombres amicaux ou nombres amiables si la somme des diviseurs propres ou parties aliquotes de l'un égale l'autre. Les adjectifs amical, amiable ou aimable peuvent ainsi qualifier la mise en relation réciproque de deux nombres entiers, lorsque chacun d'eux est la somme des diviseurs de l'autre. C'est le cas exemplaire du premier couple de nombres amicaux 220 et 284, démontré ci-dessous.

Lorsqu'un nombre entier est son propre amiable, il est un nombre parfait[1].

En arithmétique moderne, deux nombres entiers distincts n et m sont dits amicaux si la somme des diviseurs de l'un est égale à la somme des diviseurs de l'autre et si ces deux sommes sont égales à la somme des deux nombres.

Si l'on note σ la fonction qui à un entier associe la somme de ses diviseurs, cette propriété se traduit par :

\sigma(n) = \sigma(m) = n + m .

On exclut le cas n = m, qui correspondrait à un nombre parfait.

Si la première propriété amicale n'est pas avérée, les nombres n et m sont dits quasi-amicaux si \sigma(n) + \sigma(m) = 2(n + m) + 1[2]

Écriture des diviseurs d'un nombre et présentation de deux techniques de sommations de diviseurs : somme brute σ et somme réduite s ou σ'[modifier | modifier le code]

Les arithméticiens antiques ou médiévaux étudiaient un nombre entier n en écrivant en premier lieu la suite ordonnée de ces diviseurs. En procédant par ordre décroissant, la suite commençait par n et se finissait par 1, incluant différents intermédiaires diviseurs propres qui constituaient un spectre multiplicatif de "nombres (diviseurs)" à l'origine de n. Une première observation du spectre des différents nombres entiers a servi à mieux définir la nature des nombres étudiés[3].

La première définition utilise une sommation réduite des diviseurs de n nommée s ou σ', excluant le nombre n. Elle consiste à sommer la suite ordonnée écrite, hormis n considérée comme le nombre étudié et par conséquent son diviseur trivial.

Par définition de la propriété amicale du couple d'entiers (n,m), nous avons :

s(n) =  m
s(m) =  n

En conséquence :

s(n) + s(m) = n + m

La seconde définition, initialement qualifiée de moderne, a introduit la fonction σ qui n'est autre que la somme brute incluant tous les diviseurs du nombre n, en particulier n.

La relation entre la sommation brute et la sommation réduite est évidente. Nous avons :

\sigma(n) = s(n) + n = m + n
\sigma(m) = s(m) + m = n + m

Ce qui induit, du fait de la commutativité de l'addition, l'égalité proposée par la seconde définition :

\sigma(n) = \sigma(m) = n + m .

Mais aussi :

\sigma(n) + \sigma(m) = 2 (n+m)

Les premiers couples de nombres amicaux[modifier | modifier le code]

Les nombres entiers 220 et 284 sont amicaux car :

  • 220+284=504,
  • \sigma(220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220=504,
  • \sigma(284)=1+2+4+71+142+284=504.

On peut aussi caractériser les nombres amicaux en remarquant que la somme des diviseurs stricts de n (les diviseurs de n strictement plus petits que n) vaut m et que la somme des diviseurs stricts de m vaut n.

Si l'on note σ' la fonction qui à un entier associe la somme de ses diviseurs stricts, cette propriété se traduit par σ'(n) = m et σ'(m) = n. Ainsi, dans l'exemple précédent, on a

  • \sigma'(220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • \sigma'(284)=1+2+4+71+142=220

Cela implique que si l'un des deux nombres est abondant, alors l'autre est déficient.

Les 13 paires de nombres amicaux dont le premier a moins de 6 chiffres[4] sont :

  • 220 et 284
  • 1 184 et 1 210
  • 2 620 et 2 924
  • 5 020 et 5 564
  • 6 232 et 6 368
  • 10 744 et 10 856
  • 12 285 et 14 595
  • 17 296 et 18 416
  • 63 020 et 76 084
  • 66 928 et 66 992
  • 67 095 et 71 145
  • 69 615 et 87 633
  • 79 750 et 88 730.

Éléments historiques[modifier | modifier le code]

Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à la magie et à l'astrologie. Par exemple, certains commentateurs juifs de la Genèse pensaient que Jacob avait donné deux cents chèvres et vingt boucs, et autant de brebis et de béliers à son frère aîné Ésaü quand il commença à craindre que ce dernier le tue (Genèse 32:14) parce que 220 est un nombre amical[5].

Le philosophe Jamblique (vers 250-330) écrit que « les pythagoriciens connaissent ces nombres qu'ils appellent amicaux et leur associent certaines qualités sociales (comme 220 et 284) et Pythagore aurait parlé d'un ami qui « était un autre lui » comme le sont 220 et 284 ».

Quant à l'historien Ibn Khaldoun, il assure que les nombres amicaux 220 et 284 sont utilisés dans l'art des talismans pour favoriser les amitiés et les unions[6].

Il n'existe pas de formule ou méthode connue pour déterminer les nombres amicaux mais au fil des ans, certains types spéciaux ont été découverts. Thābit ibn Qurra (vers 850) note que :

Si n > 1 et si les trois nombres p = 3 × 2n−1 − 1, q = 3 × 2n − 1 et r = 9 × 22n−1 − 1 sont premiers, alors 2npq et 2nr sont amicaux.

Il faut cependant plusieurs siècles pour que cette formule produise les deuxième et troisième paires de nombres amicaux. La paire {17 296, 18 416} (n = 4) est signalée par le mathématicien Ibn al-Banna au XIVe siècle[6] puis redécouverte par Fermat, qui l'annonce dans une lettre à Mersenne en 1636. La paire {9 363 584, 9 437 056} (n = 7) est découverte par Muhammad Baqir Yazdi (en) au XVIIe siècle et par Descartes, qui écrit à Mersenne en 1638 pour la lui signaler.

La paire {6 232, 6 368} est amicale mais ne peut pas être déduite de cette formule.

Euler ajouta 61 nouvelles paires de nombres amicaux, mais commit deux erreurs[6] qui furent découvertes en 1909 et 1914. En 1866 un jeune garçon de seize ans, un certain B. Nicolò I. Paganini (aucune parenté avec le violoniste), découvrit la paire {1 184, 1 210}, ignorée jusque-là[7].

Des recherches par ordinateur ont permis de trouver toutes les paires de nombres amicaux de moins de 12 chiffres[6] ainsi que quelques autres encore plus grands pour en arriver à un total de 2 185 621 paires en 2003[6]. On ne sait pas s'il existe une infinité de telles paires, ni s'il en existe une de nombres premiers entre eux. Si une telle paire existe, chacun des deux nombres doit comporter plus de 15 chiffres et leur produit doit être divisible par au moins 22 nombres premiers.

Références[modifier | modifier le code]

  1. 6 ou 28 sont leurs propres amiables, ce sont des nombres parfaits qui sont amicaux avec eux-même.
  2. Exprimée avec la somme réduite des diviseurs (voir infra), la condition est :
    s(n) + s(m) = n + m +1
  3. Ils peuvent être indépendamment qualifiés de parfaits (spectre nul ou sans spectre), carrés (diviseur spectral unique), cubiques (deux diviseurs spectraux dont l'un est carré de l'autre)... Ils peuvent être associés deux par deux ou par groupe du fait de similitudes spectrales, de propriétés ou de caractéristiques spectrales.
  4. Pour les 39 374 paires dont le premier a moins de 14 chiffres, voir les suites A002025 et A002046 de l'OEIS.
  5. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions]
  6. a, b, c, d et e Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques : Art, casse-tête, paradoxes, superstitions, Belin,‎ 2004 [détail des éditions] (ISBN 2842450736), « Nombres amiables et suite aliquote »
  7. (it) Renzo Sprugnoli, « Introduzione alla matematica: La matematica della scuola media », sur Universita degli Studi di Firenze: Dipartimento di Sistemi e Informatica,‎ septembre 2005.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Suite aliquote