Nombre achromatique

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En théorie des graphes, une coloration complète est l'opposé d'une coloration harmonieuse en ce sens que c'est une coloration des sommets dans laquelle toute paire de couleurs apparait au moins sur une paire de sommets adjacents. Le nombre achromatique ψ(G) d'une graphe G est le nombre maximum de couleurs possibles dans une coloration complète de G.

Coloration complète du graphe de Clebsch avec 8 couleurs.

Exemple[modifier | modifier le code]

Dans la figure ci-contre, on a réussi à colorier le graphe de Clebsch avec huit couleurs de manière à ce que chaque paire de couleurs apparaisse sur au moins une arête. On ne peut pas avoir de coloration complète avec plus de couleurs : dans toute coloration à neuf couleurs, une des couleurs n'apparaîtrait que sur un des sommets, et il n'y aurait donc pas assez d'arêtes incidentes pour avoir toutes les paires de couleurs contenant cette couleur. Le nombre achromatique de ce graphe est donc 8.

Calcul du nombre achromatique[modifier | modifier le code]

Définition du problème algorithmique[modifier | modifier le code]

Trouver ψ(G) est un problème d'optimisation. Le problème de décision pour le problème de coloration complète peut être exprimé ainsi :

INSTANCE : un graphe G=(S,A) et un entier positif k
QUESTION : existe-t-il une partition de S en au plus k ensembles disjoints S_1,S_2,\ldots,S_k telle que chaque S_i est un ensemble indépendant pour G et telle que pour chaque paire d'ensembles distincts S_i,S_j,S_i \cup S_j ne soit pas un ensemble indépendant.

NP-complétude[modifier | modifier le code]

Déterminer le nombre achromatiques est NP-difficile ; déterminer s'il est inférieur à un nombre donné est NP-complet, comme l'ont montré Yannakakis et Gavril en 1978 par une transformation depuis le problème minimum maximal matching. Le problème reste NP-complet même si on le restreint aux graphes qui sont le complément d'un graphe biparti (c’est-à-dire d'un graphe qui n'a pas d'ensemble indépendant de plus de deux sommets).

Approximation[modifier | modifier le code]

Le problème d'optimisation est approximable en O\left(|S|/\sqrt{\log |S|}\right)

Références[modifier | modifier le code]

  • Michael R. Garey et David S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, 1979. ISBN 0-7167-1045-5 A1.1: GT2, pg.190.

Liens externes[modifier | modifier le code]