Nombre Harshad

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Un nombre Harshad, ou nombre de Niven, ou nombre multinumérique est un entier qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. Le nom de Harshad leur a été donné par le mathématicien Dattatreya Ramachandra Kaprekar et signifie en sanskrit grande joie. Le terme Niven est un hommage au mathématicien Ivan Niven qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977. Tous les nombres compris strictement entre zéro et le nombre de la base[1] sont des nombres Harshad, car divisibles par eux-mêmes.

Nombre Harshad en base 10[modifier | modifier le code]

Les trente premiers nombres Harshad avec plus d'un chiffre en base 10 sont (suite A005349 de l'OEIS) :

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112.

Quels nombres peuvent être des nombres Harshad ?[modifier | modifier le code]

En prenant le test de divisibilité pour le 9, on pourrait être tenté de généraliser que tous les nombres divisibles par 9 sont aussi des nombres Harshad. Mais pour le but de la détermination du caractère de Harshad pour n, les chiffres de n ne peuvent seulement être additionnés qu'une fois et n doit être divisible par cette somme, autrement, il n'est pas un nombre Harshad. Par exemple, 99, bien qu'il soit divisible par 9 comme le montre 9 + 9 = 18 et 1 + 8 = 9, n'est pas un nombre de Harshad, puisque 9 + 9 = 18 = 2 × 32 et 99 n'est pas divisible par 2.

Un nombre premier p est un nombre Harshad seulement s'il est inférieur à 10. En effet, dans le cas contraire, la somme de ses chiffres donne un nombre strictement plus grand que 1 et strictement plus petit que p donc un nombre qui ne peut pas diviser p.

En base 10, les factorielles des nombres entiers inférieurs à 431 sont des nombres Harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre Harshad. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!

Nombres Harshad consécutifs[modifier | modifier le code]

Helen G. Grundman (en) a démontré[2] qu'en base 10, il n'existe pas 21 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad. Elle trouva aussi la plus petite suite de 20 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad ; ils dépassent 1044363342786.

Estimation de la densité des nombres Harshad[modifier | modifier le code]

Si l'on note N(x) le nombre de nombres Harshad inférieurs ou égaux à x, alors[3]

\lim_{x\to+\infty}N(x)\frac{\ln x}x=\frac{14}{27}\ln 10\simeq 1,1939.

Nombre Harshad dans d'autres bases[modifier | modifier le code]

Un nombre Harshad en base b est souvent appelé un nombre de b-Harshad (notation de Grundman 1994).

Répartition des nombres b-Harshad[modifier | modifier le code]

Tous les entiers inférieurs ou égaux à b sont des nombres b-Harshad. Les seuls nombres premiers b-Harshad sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à b.

En base 2, il existe une infinité de suites de quatre nombres Harshad consécutifs, alors qu'en base 3, il existe une infinité de suites de six nombres Harshad consécutifs ; ces résultats ont été prouvés tous les deux par T. Tony Cai (en) en 1996.

Nombre Harshad complet[modifier | modifier le code]

Un nombre qui est un nombre Harshad dans toute base est appelé un nombre Harshad complet, ou un nombre de Niven complet ; il existe seulement quatre nombres Harshad complets, 1, 2, 4 et 6.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harshad number » (voir la liste des auteurs)

  1. Soit tous les chiffres de la base sauf zéro
  2. (en) H. G. Grundmann, « Sequences of consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 32,‎ 1994, p. 174-175 (lire en ligne)
  3. (en) Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon et Imre Katái (hu), « On the counting function for the Niven numbers », Acta Arith., vol. 106,‎ 2003, p. 265-275 (lien DOI?)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Harshad number », MathWorld