Multivecteur

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Définition[modifier | modifier le code]

Soit \mathbf{R}^n l'espace euclidien, muni de sa base orthonormée canonique

e_1, ... , e_n\,

Si l'on se donne m vecteurs v_1, ... , v_m, on peut utiliser le produit extérieur pour former ce qu'on appelle un multivecteur ou encore m-vecteur v :

v = v_1 \wedge ... \wedge v_m

Si on note e_{ij} = e_i \wedge e_j, alors l'espace des m-vecteurs sur \mathbf{R}^n, noté usuellement \Lambda_m \mathbf{R}^n, est un espace vectoriel dont les éléments sont de la forme :

v = \sum_{i_1 < ... < i_m}{a_{i_1,...,i_m}e_{i_1,...,i_m}}

Un multivecteur est dit décomposable s'il peut être écrit comme produit extérieur de vecteurs de \mathbf{R}^n. Par exemple, c'est le cas dans \Lambda_2 \mathbf{R}^4, e_{12} + 2 e_{13} - e_{23} = ( e_1 + e_3) \wedge ( e_2 + 2 e_3). Ce n'est pas le cas de e_{12} + e_{34}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Cet espace est muni d'une base canonique qui est \{e_{i_1,...,i_m}\}, ce qui définit alors un produit scalaire sur cet espace. On peut également montrer que cet espace a une dimension égale à C_n^m.

Si m = n, alors

v_1 \wedge ... \wedge v_n = det[v_1,...,v_n]e_{1,...,n}

Interprétation[modifier | modifier le code]

L'idée géométrique sous-jacente aux multivecteurs est de représenter un sous-espace vectoriel de dimension m P, dont  v = v_1 \wedge ... \wedge v_m en donnerait la base orientée.

Si l'on prend une autre base orientée de P, son produit extérieur  v'_1 \wedge ... \wedge v'_m est un multiple positif de v.

Si  v_1 , ... , v_m est une base orthonormée, alors \| v_1 \wedge ... \wedge v_m \| =1.

v_1 \wedge ... \wedge v_m = 0 si et seulement si ces vecteurs sont linéairement dépendant.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]