Moyenne quadratique

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la moyenne quadratique est également décrite dans une section de l'article moyenne.

La moyenne quadratique est une moyenne d'une liste de valeur, définie comme la racine de la moyenne des carrés des valeurs : \operatorname{moyenne~quadratique}\left(x_1, \dotsc, x_n\right)=\sqrt{\frac 1n\sum_{i=1}^n{x_i}^2}

En analyse fonctionnelle et en théorie de la mesure, la convergence en moyenne quadratique est définie comme la convergence d'une suite au sens de la norme de L2.

Continuité en moyenne quadratique d'un processus spatial[modifier | modifier le code]

définition — Un processus du second ordre X sur un ensemble spatial S⊂ℝd est continu en moyenne quadratique si pour toute suite de S convergente sns, E(X(sn)−X(s))2 → 0.

caractérisation — Un processus de L2 centré est continu en moyenne quadratique partout ssi sa covariance est continue sur la diagonale de son ensemble spatiale.

La continuité sur la diagonale signifie que C(s,s) est continue pour tout s dans l'ensemble spatiale, où C est la covariance.

propriété — Si un processus gaussien intrinsèque de variogramme γ vérifie γ(h) ≤ |log∥h∥|−(1+ε) au voisinage de l'origine, alors il est continu presque sûrement.

C'est le cas pour tous les modèles standards de variogramme, sauf le modèle à effet de pépite.

propriété — Un processus intrinsèque est continu en moyenne quadratique si son variogramme est continu à l'origine.

Un processus stationnaire de second ordre est continu en moyenne quadratique si sa covariance est continue à l'origine.

Différentiabilité en moyenne quadratique d'un processus monodimensionnel[modifier | modifier le code]

définition — Un processus spatial X sur un ensemble spatial monodimensionnel S⊂ℝ est différentiable en moyenne quadratique en s s'il existe Xs telle que\lim_{h\to 0}\frac{X\left(s+h\right)-X_s}h=X_s~\text{dans}~\mathbf{L}^2

propriété — Si la covariance C d'un processus X de L2 centré est telle que la dérivée seconde croisée D(s,t)= 2/∂stC(s,t) existe et est finie pour tout s=t, alors X est différentiable en moyenne quadratique partout, D existe partout et la covariance du processus dérivé est Cov((s),(t))=D(s,t).

dérivée — un champ X sur est différentiable en moyenne quadratique si la dérivée seconde γ″(0) du variogramme existe. Dans ce cas, γ existe partout et est stationnaire de covariance γ ; X(s) et (s) sont non-corrélés pour tout s, et indépendants si X est gaussien