Moyenne harmonique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

La moyenne harmonique H de nombres réels strictement positifs a1, ..., an est définie comme étant

H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}.

C'est donc l'inverse de la moyenne arithmétique de l'inverse des termes.

Exemples[modifier | modifier le code]

Dans certains cas, la moyenne harmonique donne la véritable notion de « moyenne ». Par exemple, si pour la moitié de la distance d'un trajet vous voyagez à 40 kilomètres par heure, et que pour l'autre moitié vous voyagez à 60 kilomètres par heure, votre vitesse moyenne est alors donnée par la moyenne harmonique de 40 km/h et 60 km/h, ce qui donne 48 km/h. Votre temps de voyage total est donc le même que si vous aviez voyagé à 48 kilomètres par heure sur l'ensemble de la distance (attention toutefois, si vous aviez voyagé la moitié du temps à une vitesse, et l'autre moitié du temps (et non de la distance) à une autre vitesse, la moyenne arithmétique, dans ce cas 50 kilomètres par heure, vous aurait donné la bonne moyenne).

De même, si un circuit électrique a deux résistances reliées en parallèle, la première faisant 40 Ω et l'autre 60 Ω, la résistance moyenne des deux est 48 Ω ; la résistance totale du circuit est la même que si les deux résistances en parallèle étaient remplacées par deux résistances de 48 Ω (attention, cette résistance moyenne n'est pas la résistance équivalente, qui est elle de 24 Ω, et qui correspond à remplacer les deux résistances en parallèle par une seule résistance de 24 Ω).

Moyenne harmonique de deux nombres[modifier | modifier le code]

A: moyenne arithmétique des scalaires a et b, G moyenne géométrique, H harmonique, Q quadratique.
Article détaillé : moyenne harmonique pondérée.

Si l'on s'intéresse uniquement à deux nombres, il existe une formule équivalente parfois plus pratique pour calculer la moyenne harmonique :

H = \frac {{2} {a_1} {a_2}} {{a_1} + {a_2}}.

Dans ce cas, leur moyenne harmonique est reliée à leur moyenne arithmétique,

A = \frac {{a_1} + {a_2}} {2},

et leur moyenne géométrique,

G = \sqrt {{a_1} \cdot {a_2}},

par la formule suivante :

H = \frac {G^2} {A}.

d'où

G = \sqrt {{A} {H}} , i. e. la moyenne géométrique est la racine carrée de la moyenne arithmétique multipliée par la moyenne harmonique.

Ce résultat n'est valable qu'avec deux nombres.

Applications[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]