Morphisme plat

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En géométrie algébrique, un morphisme de schémas  f : X\to Y peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille.

Définition[modifier | modifier le code]

Un morphisme  f : X\to Y est dit plat en un point x de X si l'homomorphisme d'anneaux

 f_x^{\#} : \mathcal O_{Y, f(x)} \to \mathcal O_{X, x}

induit par f est plat. On dit que f est un morphisme plat s'il est plat en tout point de X. On dit que f est fidèlement plat s'il est de plus surjectif.

Si \mathcal F est un faisceau quasi-cohérent sur X. On dit que \mathcal F est plat au-dessus de Y si pour tout x dans X, \mathcal F_x, muni de la structure de  \mathcal O_{Y, f(x)}-module induite par f_x^{\#}, est plat.

Exemples

  • Si Y est le spectre d'un corps, alors tout morphisme de X vers Y est plat.
  • Si Y est le spectre d'un anneau de Dedekind, et si X est intègre, alors f est plat si et seulement si f n'est pas constant.
  • L'espace affine \mathbb A^n_Y au-dessus de Y est plat car son faisceau d'algèbres \mathcal O_Y [T_1,\dots, T_n] est libre sur \mathcal O_Y.
  • La projection de la deuxième des axes \mathrm{Spec} (k[x, y]/(xy)) sur l'un des axes n'est pas un morphisme plat.

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

  • Les immersions ouvertes sont des morphismes plats.
  • La platitude est stable par produit: si X, Z sont plats sur Y, alors X\times_Y Z aussi.
  • La platitude est stable par composition et changement de base (si X\to Y est plat, alors X\times_Y Y' \to Y' aussi pour tout Y'\to Y).

Propriétés topologiques[modifier | modifier le code]

  • Supposons  f : X\to Y plat et localement de présentation finie.
    • L'application f est ouverte (et même universellement ouverte : pour tout Y'\to Y, X\times_Y Y' \to Y' est ouvert).
    • Supposons de plus X, Y noethériens et irréductibles. Alors l'application  y \mapsto \dim X_y est constante sur f(X).
  • Si f est propre (en) et si \mathcal F est cohérent sur X, plat sur Y, alors la caractéristique d'Euler-Poincaré
    \chi_y(\mathcal F \otimes k(y))=\sum_{i\ge 0} \dim_{k(y)} H^i(X_y, \mathcal F\otimes k(y)), \quad y\in Y,
    est localement constante sur f(X). En particulier, si f est plat et si Y est connexe, alors f est surjectif et le genre arithmétique (en) des fibres est constant.
  • Les schémas de Hilbert (en) paramètrent des familles plates de sous-schémas fermés d'un espace projectif \mathbb P^n_Y donné et de polynôme de Hilbert-Samuel (en) donné. Chacune de ces familles induit un morphisme (donc application continue en particulier) de Y vers le schéma de Hilbert. C'est un exemple de continuité à valeurs non-discrèt.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Modules plats.

Références[modifier | modifier le code]

Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Publ. Math. IHÉS 1960 - 1967.