Moment quadratique

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Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans le système international en m4, (mètre à la puissance 4).

Le moment quadratique est utilisé en résistance des matériaux, il est indispensable pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion (I_G) et en flexion (I_x et I_y). En effet, la résistance d'une section sollicitée selon un axe donné varie avec son moment quadratique selon cet axe.

Le moment quadratique est encore très souvent appelé moment d'inertie. Cependant, bien qu'il présente de claires similitudes, il ne rend compte que de la géométrie d'une section et non de sa masse.

Définition générale[modifier | modifier le code]

Schéma
  • Moment quadratique de la section S par rapport à l’axe O\vec x  :
    I_x = \int_{S}y^2\, \mathrm ds = \iint_{S}y^2\, \mathrm dx\mathrm dy
  • Moment quadratique de la section S par rapport à l’axe O\vec y  :
    I_y= \int_{S}x^2\, \mathrm ds = \iint_{S}x^2\, \mathrm dx\mathrm dy
  • Moment quadratique (polaire) de S par rapport au point O :
    I_O= \int_{S}r^2\, \mathrm ds  = \iint_{S}r^2\, \mathrm dx\mathrm dy
Remarques
On a  I_O = I_x + I_y puisque  r^2=x^2+y^2 (Théorème de Pythagore).
Il découle de ces définitions que plus les éléments de la section sont situés loin de l'axe, plus le moment quadratique sera important.

Application de la définition[modifier | modifier le code]

Section carrée

Pour une section carrée de côté  a centrée en O :

  • Moment quadratique par rapport à O\vec x  :
    I_x= \iint_{S}y^2\, \mathrm dx\mathrm dy = \int_{-\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} \mathrm dx \times  \int_{-\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} y^2 \;\mathrm dy
     =  \left[\frac {a}{2}-\left ( - \frac{a}{2} \right ) \right] \cdot \frac {1}{3} \cdot \left[ \left(\frac {a}{2}\right) ^3 - \left ( - \frac{a}{2} \right ) ^3 \right] = \frac {1}{3} \cdot  a \cdot \left ( \frac {a^3}{8} + \frac {a^3}{8} \right )
     = \frac {a^4}{12}
  • Moment quadratique par rapport à O\vec y  : De même, à cause de la symétrie de cette section, on a :
     I_y= \frac {a^4}{12}
  • Moment quadratique par rapport au point O : En utilisant le fait que  I_O = I_x + I_y on a :
     I_O= \frac {a^4}{6}

Formules pour les sections usuelles[modifier | modifier le code]

Section rectangulaire[modifier | modifier le code]

Section rectangulaire
 I_x= \frac {b \cdot h^3}{12}

 I_y= \frac {h \cdot b^3}{12}

 I_G= \frac {b \cdot h}{12} \cdot (b^2+h^2)

Section circulaire[modifier | modifier le code]

Section circulaire
 I_x= \frac {\pi \cdot D^4}{64}

 I_y= \frac {\pi \cdot D^4}{64}

 I_G= \frac {\pi \cdot D^4}{32}

Section annulaire[modifier | modifier le code]

Section annulaire

Il s'agit simplement de soustraire le moment quadratique du disque intérieur à celui du disque extérieur.

 I_x= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{64}

 I_y= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{64}

 I_G= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{32}

Formule de transport[modifier | modifier le code]

Le moment quadratique d'une section S dont le barycentre passe par un axe \Delta parallèle à un axe de référence \Delta' à une distance d vaut, d'après le théorème de transport de Huygens :

I_{\Delta'} = I_\Delta + S \cdot d^2 .

Ceci exprime que le moment quadratique est égal à la somme du « moment propre » I_\Delta et du « moment de translation » S.d^2.

Exemple pour une section complexe[modifier | modifier le code]

âme d’une poutrelle

Poutre en I[modifier | modifier le code]

On décompose la poutre en 3 parties, les deux semelles et l'âme. On fait la somme des moments quadratiques de chaque section. Si on choisit l'axe neutre comme axe de rotation, on doit utiliser le théorème des axes parallèles (transport) pour le moment quadratique des semelles :

 I_\text{x} = I_1 + 2I_2 = \frac{e(h-2e')^3}{12} + 2\left(\frac{l'e'^3}{12}+l'e'\left(\frac{h-e'}{2}\right)^2\right)

avec e et h l'épaisseur et la hauteur de l’âme et l' et e' la largeur et l'épaisseur d'une semelle.

Il est également possible de considérer une section rectangulaire de largeur l' et de hauteur h à laquelle il faut soustraire l'inertie de la portion considérée en trop, soit une autre section rectangulaire de largeur l'-e et de hauteur h-2e'. La formule devient alors :

I_\text{x} = I_1 - I_2 = \frac{b_1h_1^3}{12} - \frac{b_2h_2^3}{12} = \frac{l'h^3}{12} - \frac{(l'-e)(h-2e')^3}{12}

Les semelles sont les parties qui subissent la plus grande déformation. Ces parties sont donc plus larges, afin d'offrir une meilleure résistance à la déformation, tout en réduisant l'âme afin de gagner du poids. L'âme sert à écarter les semelles afin d'augmenter leur moment quadratique. Ainsi, à aire équivalente, le moment quadratique d'une section en I est environ 7,6 fois plus grand que celui d'une section carrée.

Ces poutres sont donc largement utilisées en génie civil et en mécanique car elles permettent des économies de matière.

Application aux composites, sandwich[modifier | modifier le code]

En utilisant pour ces parties un matériau plus résistant aux contraintes (cf. Déformation élastique) ou ayant un module de Young plus élevé, on peut donc considérablement augmenter ses caractéristiques mécaniques. Pour l'âme, on peut alors utiliser un matériau de résistance moindre mais plus léger, celui-ci étant soumis à de moins grandes déformations.

Ce principe est utilisé abondamment dans la fabrication de bateaux en matériaux composites : l'âme est faite en mousse ou dans un matériau de faible densité (par exemple un polymère ou du balsa) et les semelles sont en fibres (verre, carbone, …). Ce type de fabrication est appelé sandwich dans le milieu nautique, à cause de cette structure en 3 feuilles superposées.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]