Moment cinétique (mécanique quantique)

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La notion de moment cinétique est définie dans le cadre mécanique quantique, sous la forme d'un opérateur vectoriel (noté \hat\vec J) à trois composantes (opérateurs « scalaires »), qui obéissent entre elles à des relations de commutation déterminées. Par suite, il est impossible de connaître simultanément les différentes composantes du moment cinétique dans le cadre quantique : seuls les états propres communs à l'opérateur {\hat\vec J}^2 donnant la somme des carrés de différentes composantes, et à une composante donnée {\hat\vec J}_z, peuvent être déterminés, contrairement à la situation classique.

Une autre différence tient dans le fait qu'en mécanique quantique le concept de moment cinétique généralise la notion « ordinaire » de moment cinétique à des situations n'ayant pas d'équivalent classique. Ceci amène en fait à distinguer le moment cinétique défini par analogie classique en fonction des diverses composantes des opérateurs position et impulsion d'une particule (notion de moment cinétique orbital, noté \hat\vec L), du moment cinétique intrinsèque, sans équivalent classique, ou spin (noté \hat\vec S).

Par ailleurs, en mécanique quantique les états propres communs à {\hat\vec J}^2 et à {\hat\vec J}_z ont des valeurs propres « quantifiées ». Ceci résulte directement de la définition du moment cinétique, et non pas de la situation particulière du système étudié comme pour le hamiltonien du système. Pour les systèmes de plusieurs particules, ces différents moments cinétiques se combinent suivant des règles particulières.

Enfin, et comme en mécanique classique, le moment cinétique quantique est étroitement lié aux rotations dans l'espace ordinaire (pour le moment cinétique orbital) ou dans un espace plus abstrait (pour le moment cinétique de spin). De fait, il est possible de montrer que les relations de commutation entre les différentes composantes du moment cinétique résultent directement de celles entre les générateurs des rotations élémentaires dans les espaces considérés. Comme en mécanique classique, l'intérêt de l'usage du moment cinétique vient des situations où il se « conserve » au sens quantique du terme, autrement dit où il commute (du moins pour certaines de ces composantes) avec le hamiltonien du système. Cette situation est elle-même liée à l'existence de certaines symétries dans le hamiltonien. Dans ce cas les états propres du hamiltonien sont communs avec ceux des opérateurs {\hat\vec J}^2 et {\hat\vec J}_z. En particulier, le moment cinétique joue un rôle fondamental en physique atomique et moléculaire, dans la classification des termes électroniques.

L'unité de cet observable est le J.s, comme pour le moment cinétique classique.

Opérateur de moment cinétique[modifier | modifier le code]

Moment cinétique en mécanique classique[modifier | modifier le code]

Pour un point matériel de vecteur position \vec{r} et de quantité de mouvement \vec{p} le moment cinétique par rapport à l'origine est défini par : \vec{L}=\vec{r}\wedge\vec{p}\quad(1).

En coordonnées cartésiennes, ce vecteur axial a pour composantes :

\begin{cases} L_x=yp_z-zp_y \\ L_y = zp_x-xp_z \\ L_z=xp_y-yp_x \end{cases}\quad(2).

En mécanique classique, la conservation du moment cinétique est étroitement liée à l'invariance par rotation du hamiltonien du système.

Première approche : moment cinétique orbital[modifier | modifier le code]

Il est possible, par analogie avec les relations (1) ou (2) de définir une grandeur correspondante en mécanique quantique. Toutefois, il convient de tenir compte alors du fait qu'aux grandeurs classiques de position et de quantité de mouvement correspondent les opérateurs « vectoriels » de position \hat{\vec{r}} et d'impulsion \hat{\vec{p}}. Ces notations correspondent chacune aux ensembles de trois opérateurs scalaires (\hat{x},\hat{y},\hat{z}) et (\hat{p}_x,\hat{p}_y,\hat{p}_z) des composantes de la position et de l'impulsion, qui obéissent aux relations de commutation canoniques :

\left[\hat{x}_i,\hat{p}_j\right]={\rm i}\hbar \delta_{ij},\quad\forall i,j\in\{x,y,z\}\quad(3),

\delta_{ij} est le symbole de Kronecker.

L'opérateur de moment cinétique orbital[1] d'une particule peut alors être défini comme l'opérateur vectoriel \hat{\vec{L}}=\hat{\vec{r}}\wedge\hat{\vec{p}}, soit le groupe de trois opérateurs scalaire donnant les composantes du moment cinétique :

\begin{cases} \hat{L}_x=\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y \\ \hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_z \\ \hat{L}_z=\hat{x}\hat{p}_y-\hat{y}\hat{p}_x \end{cases}\quad(4).

Compte tenu des relations de commutation (3), les différentes composantes du moment cinétique orbital ne commutent pas entre elles. Par exemple, compte tenu de (3) et (4) le commutateur entre \hat{L}_x et \hat{L}_y est donné par :

\left[\hat{L}_x,\hat{L}_y\right]=\left[\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y,\hat{z}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_z\right]=\left[\hat{y}\hat{p}_z,\hat{z}\hat{p}_x\right]-\left[\hat{y}\hat{p}_z,\hat{x}\hat{p}_z\right]-\left[\hat{z}\hat{p}_y,\hat{z}\hat{p}_x\right]+\left[\hat{z}\hat{p}_y,\hat{x}\hat{p}_z\right]  =\hat{y}\hat{p}_x\left[\hat{p}_z,\hat{z}\right]-0-0+\hat{x}\hat{p}_y\left[\hat{z},\hat{p}_z\right], soit finalement :
\left[\hat{L}_x,\hat{L}_y\right]={\rm i}\hbar\hat{L}_z.

De façon générale, les trois composantes du moment cinétique orbital obéissent aux relations de commutation :

\left[\hat{L}_i,\hat{L}_j\right]=\varepsilon_{ijk}{\rm i}\hbar\hat{L}_k,\quad\forall i,j,k\in\{x,y,z\}\quad(5),

εijk étant le symbole de Levi-Civita[2].

Ces relations de commutations sont à rapprocher du crochet de Poisson entre les composantes cartésiennes du moment cinétique classique : \{L_i,L_j\}=\varepsilon_{ijk} L_k, de fait on a la correspondance formelle {\rm i}\hbar\{L_i,L_j\} \rightarrow \left[\hat{L}_i,\hat{L}_j\right], à rapprocher de celle existante pour les relations de commutation canoniques (3) : {\rm i}\hbar \{x_i,p_i\}\rightarrow\left[\hat{x}_i,\hat{p}_j\right].

L'existence en mécanique quantique du spin, un observable sans équivalent classique mais dont les propriétés sont similaires au moment cinétique orbital, amène en fait à généraliser cette notion sans faire référence directement à la définition classique, à partir de ces relations de commutation (5).

Définition générale du moment cinétique en mécanique quantique[modifier | modifier le code]

Par définition, on appelle moment cinétique quantique \hat{\vec{J}} tout ensemble de trois observables, notées \hat J_x, \hat J_y et \hat J_z, constituant un opérateur vectoriel \hat{\vec{J}}, qui vérifient entre elles les relations de commutation :

[\hat{J}_i,\hat{J}_j]={\rm i}\hbar\varepsilon_{ijk}\hat{J}_k\quad(6).

Cette définition abstraite généralise celle du moment cinétique orbital défini à partir de la notion classique. Ces relations de commutation montrent que les opérateurs \hat J_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z constituent les générateurs d'une algèbre de Lie[3], avec les constantes de structures {\rm i}\hbar\varepsilon_{ijk}. Le groupe de Lie associé est en fait le groupe des rotations SO(3) (ou, du fait de l'existence d'un morphisme de groupes entre eux, groupe spécial unitaire SU(2)): ceci explique en fait l'étroite relation entre opérateurs de moment cinétique et rotations — cf. infra.

La non-commutation entre les composantes du moment cinétique implique qu'il n'est pas possible de mesurer simultanément les différentes composantes du moment cinétique. Il est cependant possible d'introduire l'opérateur \hat J^2 = \hat J_x^2+\hat J_y^2+\hat J_z^2 (carré du moment cinétique) qui commute avec toutes les composantes de \hat{\vec{J}} :

 [\hat J^2, \hat J_i] = 0,\quad i=x,y,z\quad(7).
Illustration du modèle du « vecteur tournant » pour le moment cinétique.

Ces relations de commutation montrent que \hat{J}^2 est l'invariant de Casimir de l'algèbre de Lie sous-tendue par les opérateurs \hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z. Il ne fait donc pas partie de cette algèbre.

Par suite, il n'est possible de mesurer simultanément en mécanique quantique que le carré du moment cinétique et une composante particulière, noté en général \hat J_z. Il est fréquent de recourir à l'image semi-classique du « vecteur tournant » pour représenter cette situation. Dans ce modèle, le moment cinétique est représenté par un vecteur \vec{J} de norme constante égale à la racine carrée valeur propre de \hat J^2, et dont la projection sur l'axe Oz est égale à celle de \hat{J}_z, qui « tourne » autour de cet axe, correspondant à l'incertitude sur les valeurs propres de \hat{J}_x et \hat{J}_y liée à la non-commutation entre des différentes composantes (cf. figure ci-contre).

Opérateurs d'échelle[modifier | modifier le code]

Pour les deux autres composantes, il est utile de définir les opérateurs d'échelle[4], adjoints l'un de l'autre :

\hat J_+ = \hat J_x +{\rm i}\hat J_y\text{ et }\hat J_- = \hat J_x -{\rm i}\hat J_y\quad(8).

Ces relations s'inversent en :

\hat{J}_x=(\hat{J}_+ + \hat{J}_-)/2\text{ et }\hat{J}_y=(\hat{J}_+ - \hat{J}_-)/2{\rm i}\quad(9).

Il vient dès lors aussitôt :

\hat{J}_\pm \hat{J}_\mp=(\hat{J}_x \pm{\rm i}\hat{J}_y)(\hat{J}_x \mp{\rm i}\hat{J}_y)=\hat{J}_x^2+\hat{J}_y^2\mp i[\hat{J}_x,\hat{J}_y]= \hat{J}^2-\hat{J}_z^2\pm \hbar \hat{J}_z\quad(10).

Par somme et différence, on en déduit :

\hat{J}^2=\frac12\left(\hat J_+ \hat J_- +\hat J_- \hat J_+\right) + \hat{J}_z^2\text{ et }\left[\hat J_+,\hat J_-\right]=2\hbar\hat J_z.

Par ailleurs, compte tenu de (6) et (7), les relations de commutation suivantes sont également vérifiées :

  •  [\hat J_z, \hat J_\pm] =\pm\hbar \hat J_\pm\quad(11),
  •  [\hat J^2, \hat J_\pm] = 0.

Ces différentes relations permettent dès lors de déterminer les états propres communs aux opérateurs \hat{J}^2 et \hat{J}_z.

Détermination des états et des valeurs propres des opérateurs J2 et Jz[modifier | modifier le code]

Les valeurs propres de \hat{J}^2 sont réelles positives. On peut donc les noter \hbar^2 j(j+1) avec j réel positif, puisque jj(j + 1) est une bijection de ℝ+ dans lui-même.

Les valeurs propres de \hat J_z sont notées \hbar m avec m réel.

Notons |j,m\rangle l'état propre commun à \hat J^2 (pour la valeur propre \hbar^2 j(j+1)) et \hat J_z (pour la valeur propre \hbar m). Autrement dit :

\hat{J}^2|j,m\rangle=\hbar^2 j(j+1)|j,m\rangle\text{ et }\hat{J}_z|j,m\rangle= \hbar m|j,m\rangle.

Les définitions des opérateurs et les relations de commutation (6) imposent de fortes restrictions sur les valeurs possibles des deux « nombres quantiques » j et m.

Le nombre quantique m est compris entre -j et +j[modifier | modifier le code]

D'après (10), il vient :

0\le\left\|\hat{J}_\pm|j,m\rangle\right\|^2=\langle j,m|\hat J^2-\hat J_z^2\mp\hbar J_z|j,m\rangle=\hbar^2\left(j(j+1)-m(m\pm1)\right),

ce qui implique

-j\le m\le j\quad(12).

Par ailleurs, d'après (11), J_\pm|j,m\rangle est proportionnel à |j, {m\pm 1}\rangle (à condition que m et m ± 1 soient tous deux compris entre –j et j). Compte tenu de sa norme et en prenant une convention de phase nulle, il est possible de préciser le facteur :

 J_\pm |j,m\rangle = \hbar\sqrt{ j(j+1)-m(m\pm 1)} |j, {m\pm 1}\rangle\quad(13).

Ainsi, l'action des opérateurs \hat{J}_\pm est d'augmenter (+) ou d'abaisser (–) d'une unité le nombre quantique m, sans modifier j, d'où le nom d'opérateurs d'échelle qui leur est donné (à rapprocher des opérateurs d'échelle \hat{a} et \hat{a}^\dagger définis pour l'oscillateur harmonique quantique).

Les seules valeurs admissibles de j sont entières ou demi-entières[modifier | modifier le code]

Montrons par l'absurde que le réel positif j + m est égal à sa partie entière, notée q. Si j + m était strictement supérieur à q, c'est-à-dire m – q > – j, l'opérateur d'échelle \hat{J}_-, itéré q + 1 fois à partir de l'état propre |j,m\rangle, produirait d'après (13) (à un facteur non nul près) un état propre |j,m-q-1\rangle, ce qui contredirait (12) puisque m-q-1<-j. Un raisonnement analogue utilisant l'opérateur d'échelle \hat{J}_+ montre que le réel positif j – m est égal à sa partie entière, notée r. Par suite, 2j est l'entier positif q + r, ce qui implique que :

  • le nombre quantique j est entier ou demi-entier ;
  • le nombre quantique m varie par saut d'une unité entre –j et j.

Synthèse des résultats[modifier | modifier le code]

Les états propres |j,m\rangle communs à \hat{J}^2 et \hat{J}_z sont donc tels que :

\begin{align}\hat{J}^2|j,m\rangle &= \hbar^2j(j+1)|j,m\rangle&\text{ avec j entier ou demi-entier}~;\\
\hat{J}_z|j,m\rangle&=\hbar\; m|j,m\rangle&\text{ avec } -j \leq m \leq +j \text{ par saut d'une unité}.\end{align}

Il convient de souligner que ces propriétés sont intrinsèques au moment cinétique, puisque qu'elles résultent uniquement des relations de commutations (6) et (7). Le cas des opérateurs de moment cinétique avec j entier correspond au moment cinétique orbital, celui avec j demi-entier aux opérateurs de moment cinétique de spin.

Les états propres correspondant à une valeur donnée de j sont 2j + 1 dégénérés. Par ailleurs, la formule (13) montre que l'action des opérateurs \hat{J}_\pm — ou de façon équivalente d'après (9) \hat{J}_{x,y} — sur un état propre |j,m\rangle est de passer à une combinaison linéaire d'états propres correspondant à la même valeur de j.

Les différents états propres \{|j,-j\rangle,|j,-j+1\rangle,\ldots,|j,j-1\rangle,|j,j\rangle\} constituent donc la base d'un sous-espace vectoriel propre \mathcal{E}(j), de dimension 2j + 1, invariant sous l'action des opérateurs \hat{J}^2, \hat{J}_{x,y} et \hat{J}_z. Sur le plan mathématique, cela implique que les représentations matricielles dans la base des états propres \{|j,m\rangle\} de ces opérateurs sont diagonales par blocs, chaque bloc ayant pour dimension 2j + 1.

Application au moment cinétique orbital et au spin[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : moment cinétique orbital et spin.

Moment cinétique "orbital"[modifier | modifier le code]

Définition, propriétés générales[modifier | modifier le code]

Cette notion a été définie en introduction, comme généralisation quantique du moment cinétique d'une particule, et est donné par les trois opérateurs:

\begin{cases} \hat{L}_x=\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y \\ \hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_z \\ \hat{L}_z=\hat{x}\hat{p}_y-\hat{y}\hat{p}_x \end{cases}.

Ces opérateurs obéissant aux relations de commutation définissant le moment cinétique en mécanique quantique, les états propres communs à \hat{L}_z et \hat{L}^2 sont notés |\ell,m\rangle, de valeurs propres respectives \hbar m et \hbar^2 \ell(\ell+1). Toutefois, \ell ne peut prendre en réalité que des valeurs entières, positives ou nulle.

En effet, il est possible d'expliciter \hat{L}_z en coordonnées sphériques (notées (r,\theta,\phi), ce qui donne:

\hat{L}_z=-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi},

or l'équation aux valeurs propres \hat{L}_z |\ell,m\rangle = \hbar m |\ell,m\rangle s'écrit alors en représentation position:

-i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial \phi} = \hbar m \psi(r,\theta,\phi), avec \psi(r,\theta,\phi)=\langle \vec{r}|\ell,m\rangle.

L'opérateur \hat{L}_z n'agissant que sur la variable angulaire \phi il est possible séparer les variables en posant \psi(r,\theta,\phi)=f(r,\theta)g(\phi) avec g(\phi) telle que:

-i\hbar \frac{d g}{d \phi} = \hbar m g(\phi),

donc g(\phi) est de la forme g(\phi)=e^{im \phi}, à un facteur de normalisation et de phase près.

Physiquement, la fonction d'onde doit être définie de façon univoque: en particulier, sa partie angulaire "axiale" g(\phi) doit évidemment l'être aussi, l'angle \phi étant compris entre les valeurs 0 et 2π, ce qui implique que m soit toujours entier, positif ou négatif (à la limite nul). Or comme -\ell\leq m <\leq +\ell, par saut d'une unité, ceci implique que pour le moment cinétique orbital \ell soit nécessairement un entier.

Relations avec les opérateurs de rotation[modifier | modifier le code]

Le moment cinétique orbital est en fait directement lié à l'opérateur de rotation spatiale. En effet, et en se plaçant en représentation position, l'effet d'une rotation élémentaire d'un angle \delta \phi autour de la direction Oz, de vecteur unitaire \vec{e}_z, induit une variation \delta \vec{r}=\delta \vec{\phi} \times \vec{r} du vecteur position \vec{r}, \delta \vec{\phi}=\delta \phi \vec{e}_z étant le vecteur rotation élémentaire autour de Oz. Dans une telle rotation élémentaire la fonction d'onde \psi(\vec{r})=\langle\vec{r}|\Psi\rangle d'une particule donnée se transforme de la façon suivante, à l'ordre le plus bas en \delta \phi:

\psi(\vec{r}+\delta\vec{r})=\psi(\vec{r})+\delta\vec{r}\cdot\vec{\nabla}\psi=\psi(\vec{r})+\left(\delta \vec{\phi} \times \vec{r}\right)\cdot\vec{\nabla}\psi,

soit encore du fait des propriétés du produit mixte:

\psi(\vec{r}+\delta\vec{r})=\left(1+\delta \vec{\phi}\cdot \left(\vec{r}\times\vec{\nabla}\right)\right)\psi[5],

or \vec{r}\times\vec{\nabla} correspond, au facteur multiplicatif -i\hbar près, à l'expression en représentation position de l'opérateur vectoriel moment cinétique orbital \hat{\vec{L}}=\hat{\vec{r}}\wedge\hat{\vec{p}}. Comme \delta\vec{\phi}=\delta\phi\vec{e}_z l'expression précédente donnant la transformation de la fonction d'onde sous l'effet d'une rotation élémentaire d'angle \delta\phi s'écrit:

\psi(\vec{r}+\delta\vec{r})=\left(1-i\delta\phi\frac{\hat{L}_z}{\hbar}\right)\psi.

Par suite l'opérateur de rotation infinitésimale \hat{R}_z(\delta \phi) autour de Oz est donnée par \hat{R}_z(\delta \phi)=-i\delta\phi\frac{\hat{L}_z}{\hbar}. Pour une direction arbitraire repérée par le vecteur unitaire \vec{u} cette expression se généralise en \hat{R}_{\vec{u}}(\delta \phi)=-i\delta\phi\frac{\hat{\vec{L}}\cdot\vec{u}}{\hbar}.

Dans le cas d'une rotation finie d'angle arbitraire \phi autour de Oz, il est facile de montrer[ref 1] que l'opérateur s'écrit:

\hat{R}_z(\phi)=e^{-\tfrac{i}{\hbar}\phi\hat{L}_z},

la généralisation à une direction arbitraire étant évidente.

Par suite, les trois opérateurs de moment cinétique orbital \hat{L}_x, \hat{L}_y et \hat{L}_z correspondent (à \tfrac{-i}{\hbar} près) aux générateurs du groupe des rotations dans l'espace à trois dimensions, SO(3).

Moment cinétique et isotropie de l'espace[modifier | modifier le code]

En mécanique classique la conservation du moment cinétique est intimement liée à l'invariance par rotation du hamiltonien du système[ref 2]. Il en est de même en mécanique quantique, où la notion de conservation d'une grandeur physique correspond à la situation ou l'observable \hat{\mathcal{O}} représentant celle-ci commute avec le hamiltonien \hat{H} du système: \left[\hat{H},\hat{\mathcal{O}}\right]=0.

Du fait de la relation étroite entre opérateur de rotation et les ceux du moment cinétique orbital, il est clair que l'invariance du hamiltonien par rotation (spatiale) implique que celui-ci commute avec les opérateurs \hat{L}^2 et \hat{L}_z (ou, en fait, \hat{L}_x et \hat{L}_y). Dans ce cas, les états propres d'énergie, solution de l'équation de Schrödinger \hat{H}|\Psi\rangle=E|\Psi\rangle seront commun avec ces opérateurs et auront donc des valeurs de \ell et m déterminés. L'isotropie du hamiltonien, donc l'équivalence de toutes les directions de l'espace, impliquera d'ailleurs que les valeurs de l'énergie ne dépendent pas du nombre quantique m, et que donc les différents états propres soient 2\ell+1-fois dégénérés: cette dégénérescence est dite essentielle. En revanche, dans le cas général l'énergie dépendra de la valeur de \ell, sauf cas particulier dit de "dégénérescence accidentelle"[6].

Dans le cas où un champ extérieur uniforme et constant (magnétique par exemple) est appliqué, le hamiltonien ne sera plus isotrope, toutefois il commutera toujours avec la composante du moment cinétique orbital dans la direction de ce champ, et bien sûr avec \hat{L}^2. Toutefois, l'énergie E dépendra alors de m en général, du fait de la non-équivalence de toutes les directions de l'espace: il y a alors une levée (au moins partielle) de dégénérescence.

Fonctions propres du moment cinétique - Harmoniques sphériques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Harmoniques sphériques.

Du fait de son étroite relation avec les opérateurs de rotations dans l'espace, il est utile de se placer, en représentation position, dans le système de coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) pour exprimer les opérateurs \hat{L}_z et \hat{L}^2, il vient:

\hat{L}_z=-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi},
\hat{L}^2 = -\hbar^2 \left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left[\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right] + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right).

Cette dernière expression correspond, à un facteur près, à la partie angulaire de l'expression du Laplacien en coordonnées sphériques, plus précisément:

\Delta = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\hat{L}^2}{\hbar^2 r^2}.

En représentation position les états propres |\ell,m\rangle communs à \hat{L}^2 et \hat{L}_z sont les harmoniques sphériques Y_{\ell,m}\left(\theta,\phi\right)=\langle\theta,\phi|\ell,m\rangle, qui se mettent sous la forme (normalisée, un facteur de phase près):

Y_{\ell,m}(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} P_{\ell}^m (\cos \theta)  e^{i m \phi},

où les P_{\ell}^m correspondent aux polynômes associés de Legendre[7] .


Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Ce terme d'"orbital" est aussi bien pour le distinguer du moment cinétique intrinsèque ou de spin, qu'en raison du fait que l'on s'intéresse souvent au moment cinétique d'un électron "en orbite" autour d'un noyau atomique.
  2. Ce symbole est nul si deux quelconques des indices sont égaux, égal à +1 si le triplet (i, j, k) se déduit par une permutation circulaire du triplet (x, y, z), -1 sinon. Par exemple εzxy = +1 et εyxz = –1.
  3. De façon synthétique, à tout groupe de Lie compact G (i.e. dont les paramètres x_1,\ldots,x_N\in \R \text{ ou } \C sont bornés), et tel que \forall g \in G, g(0,\ldots,0)= \hat{1} (\hat{1} est l'identité dans le groupe G), il est possible d'associer un espace vectoriel ordinaire dont une base est donnée par les générateurs définis par X_i=\left. \frac{\partial g}{\partial x_i}\right|_{x_i =0,\; i=1,\ldots,N}. Ces générateurs constituent une algèbre de Lie associée au groupe de Lie G, avec des relations de commutation de la forme \left[X_i,X_j\right]=c_{ijk} X_k, les constantes c_{ijk} étant les constantes de structure de l'algèbre de Lie associée.
  4. Nommés d'échelle puisqu'ils servent à « monter » ou « descendre » dans les états quantiques.
  5. En toute rigueur, il faudrait écrire \hat{I}, opérateur identité, plutôt que le nombre "1" dans cette expression, puisque le second membre dans la parenthèse est un opérateur agissant sur fonction d'onde \psi
  6. C'est en particulier le cas du champ Coulombien. Cette dégénérescence est en fait liée à l'existence d'une symétrie additionnelle du hamiltonien.
  7. Ces fonctions se déduisent des polynômes de Legendre P_{\ell}(x) par la formule P_\ell^{m}(x) = (-1)^m\ (1-x^2)^{m/2}\ \frac{d^m}{dx^m}\left(P_\ell(x)\right).

Références[modifier | modifier le code]

  1. Cf. Par exemple C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition], complément B-IV.
  2. Cf. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 1 : Mécanique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], chapitre II, § 9.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Lien externe[modifier | modifier le code]

Compléments sur Moments cinétiques, depuis le site de physique Phyches

Ouvrages[modifier | modifier le code]