Moment cinétique (mécanique quantique)

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La notion de moment cinétique est définie dans le cadre mécanique quantique, sous la forme d'un opérateur vectoriel (noté \widehat{\vec{J}} à trois composantes (opérateurs "scalaires"), qui obéissent entre elles à des relations de commutation déterminées. Par suite, il est impossible de connaître simultanément les différentes composantes du moment cinétique dans le cadre quantique: seuls les états propres communs à l'opérateur \widehat{\textbf{\textit{J}}}^2 donnant la somme des carrés de différentes composantes, et à une composante donnée \widehat{\textbf{\textit{J}}}_z, peuvent être déterminés, contrairement à la situation classique.

Une autre différence tient dans le fait qu'en mécanique quantique le concept de moment cinétique généralise la notion "ordinaire" de moment cinétique à des situations n'ayant pas d'équivalent classique. Ceci amène en fait à distinguer le moment cinétique défini par analogie classique en fonction des diverses composantes des opérateurs position et impulsion d'une particule (notion de moment cinétique orbital, noté \widehat{\vec{L}}), du moment cinétique intrinsèque, sans équivalent classique, ou spin (noté \widehat{\vec{S}}).

Par ailleurs, en mécanique quantique les états propres communs à \widehat{\textbf{\textit{J}}}^2 et à \widehat{\textbf{\textit{J}}}_z ont des valeurs propres quantifiés. Ceci résulte directement de la définition du moment cinétique, et non pas de la situation particulière du système étudié comme pour le hamiltonien du système. Pour les systèmes de plusieurs particules, ces différents moments cinétiques se combinent suivant des règles particulières.

Enfin, et comme en mécanique classique, le moment cinétique quantique est étroitement lié aux rotations dans l'espace ordinaire (pour le moment cinétique orbital) ou dans un espace plus abstrait (pour le moment cinétique de spin). De fait, il est possible de montrer que les relations de commutation entre les différentes composantes du moment cinétique résultent directement de celles entre les générateurs des rotations élémentaires dans les espaces considérés. Comme en mécanique classique, l'intérêt de l'usage du moment cinétique vient des situations où il se « conserve » au sens quantique du terme, autrement dit où il commute (du moins pour certaines de ces composantes) avec le hamiltonien du système. Cette situation est elle-même liée à l'existence de certaines symétries dans le hamiltonien. Dans ce cas les états propres du hamiltonien sont communs avec ceux des opérateurs \widehat{\textbf{\textit{J}}}^2 et \widehat{\textbf{\textit{J}}}_z. En particulier, le moment cinétique joue un rôle fondamental en physique atomique et moléculaire, dans la classification des termes électroniques.

L'unité de cet observable est le J.s, comme pour le moment cinétique classique.

Opérateur de moment cinétique[modifier | modifier le code]

Moment cinétique en mécanique classique[modifier | modifier le code]

Pour un point matériel de vecteur position \vec{r} et de quantité de mouvement \vec{p} le moment cinétique par rapport à l'origine est défini par: \vec{L}=\vec{r}\wedge\vec{p}, (1).
En coordonnées cartésiennes ce vecteur axial à pour composantes:

\begin{cases} L_x=yp_z-zp_y \\ L_y = zp_x-xp_z \\ L_z=xp_y-yp_x \end{cases}, (2).

En mécanique classique, la conservation du moment cinétique est étroitement liée à l'invariance par rotation du hamiltonien du système.

Première approche: moment cinétique orbital[modifier | modifier le code]

Il est possible, par analogie avec les relations (1) ou (2) de définir une grandeur correspondante en mécanique quantique. Toutefois, il convient de tenir compte alors du fait qu'aux grandeurs classiques de position et de quantité de mouvement correspondent les opérateurs "vectoriels" de position \hat{\vec{r}} et d'impulsion \hat{\vec{p}}. Ces notations correspondent chacune aux ensembles de trois opérateurs scalaires (\hat{x},\hat{y},\hat{z}) et (\hat{p}_x,\hat{p}_y,\hat{p}_z) des composantes de la position et de l'impulsion, qui obéissent aux relations de commutation canoniques :

\left[\hat{x}_i,\hat{p}_j\right]=i\hbar \delta_{ij} (i,j = x,y,z), (3), où \delta_{ij} est le symbole de Kronecker.


L'opérateur de moment cinétique orbital d'une particule peut alors être défini comme l'opérateur vectoriel \hat{\vec{L}}=\hat{\vec{r}}\wedge\hat{\vec{p}}, soit le groupe de trois opérateurs scalaire donnant les composantes du moment cinétique:

\begin{cases} \hat{L}_x=\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y \\ \hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_z \\ \hat{L}_z=\hat{x}\hat{p}_y-\hat{y}\hat{p}_x \end{cases}, (4).

Compte tenu des relations de commutation (3) les différentes composantes du moment cinétique orbital ne commutent pas entre elles. Par exemple, compte tenu de (3) et (4) le commutateur entre \hat{L}_x et \hat{L}_y est donné par:

\left[\hat{L}_x,\hat{L}_y\right]=\left[\hat{y}\hat{p}_z-\hat{z}\hat{p}_y,\hat{z}\hat{p}_x-\hat{x}\hat{p}_z\right]=\left[\hat{y}\hat{p}_z,\hat{z}\hat{p}_x\right]-\left[\hat{y}\hat{p}_z,\hat{x}\hat{p}_z\right]-\left[\hat{z}\hat{p}_y,\hat{z}\hat{p}_x\right]+\left[\hat{z}\hat{p}_y,\hat{x}\hat{p}_z\right]  =\hat{y}\hat{p}_x\left[\hat{p}_z,\hat{z}\right]-0-0+\hat{x}\hat{p}_y\left[\hat{z},\hat{p}_z\right], soit finalement :
\left[\hat{L}_x,\hat{L}_y\right]=i\hbar\hat{L}_z.

De façon générale en notant \hat{L}_1=\hat{L}_x, \hat{L}_2=\hat{L}_y, etc. il est possible de montrer que les différentes composantes du moment cinétique orbital obéissent aux relations de commutation:

\left[\hat{L}_i,\hat{L}_j\right]=\epsilon_{ijk} i\hbar\hat{L}_k, (5), εijk étant le symbole de Levi-Civita[1].

Ces relations de commutations sont a rapprocher du crochet de Poisson entre les composantes cartésiennes du moment cinétique classique: \{L_i,L_j\}=\epsilon_{ijk} L_k, de fait on a la correspondance formelle i\hbar\{L_i,L_j\} \rightarrow \left[\hat{L}_i,\hat{L}_j\right], à rapprocher de celle existante pour les relations de commutation canonique (3): i\hbar \{x_i,p_i\}\rightarrow\left[\hat{x}_i,\hat{p}_j\right].

L'existence en mécanique quantique du spin, un observable sans équivalent classique mais dont les propriétés sont similaires au moment cinétique orbital, amène en fait à généraliser cette notion sans faire référence directement à la définition classique, à partir de ces relations de commutation (5).

Définition générale du moment cinétique en mécanique quantique[modifier | modifier le code]

Par définition, on appelle moment cinétique quantique \hat{\vec{J}} tout ensemble de trois observables, notés \hat J_x, \hat J_y et \hat J_z, constituant un opérateur vectoriel \hat{\vec{J}}, qui vérifient entre eux les relations de commutation:

[\hat{J}_i,\hat{J}_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{J}_k, (6),

Cette définition abstraite généralise celle du moment cinétique orbital défini à partir de la notion classique. Ces relations de commutation montrent que les opérateurs \hat J_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z constituent les générateurs d'une algèbre de Lie[2], avec les constantes de structures i\hbar\epsilon_{ijk}. Le groupe de Lie associé est en fait le groupe des rotations SO(3) (ou, du fait de l'existence d'un morphisme de groupes entre eux,groupe spécial unitaire SU(2)): ceci explique en fait l'étroite relation entre opérateurs de moment cinétique et rotations - cf. infra.

La non-commutation entre les composantes du moment cinétique implique qu'il n'est pas possible de mesurer simultanément les différentes composantes du moment cinétique. Il est cependant possible d'introduire l'opérateur \hat J^2 = \hat J_x^2+\hat J_y^2+\hat J_z^2 (carré du moment cinétique) qui commute avec toutes les composantes de \hat{\vec{J}}:

  •  [\hat J^2, \hat J_i] = 0, i=x,y,z, (7).
Illustration du modèle du "vecteur tournant" pour le moment cinétique.

Ces relations de commutation montrent en fait l'opérateur \hat{J}^2 est l'invariant de Casimir de l'algèbre de Lie sous-tendue par les opérateurs \hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z. Il ne fait donc pas partie de cette algèbre.

Par suite, il n'est possible de mesurer simultanément en mécanique quantique que le carré du moment cinétique et une composante particulière, noté en général \hat J_z. Il est fréquent de recourir à l'image semi-classique du "vecteur tournant" pour représenter cette situation. Dans ce modèle le moment cinétique est représenté par un vecteur \vec{J} de norme constante égale à la racine carré valeur propre de \hat J^2, et dont la projection sur l'axe Oz est égale à celle de \hat{J}_z, qui "tourne" autour de cet axe, correspondant à l'incertitude sur les valeurs propres de \hat{J}_x et \hat{J}_y liée à la non-commutation entre des différentes composantes (cf. figure ci-contre).

Opérateurs d'échelle[modifier | modifier le code]

Pour les deux autres composantes, il est utile de définir les opérateurs d'échelle[3], non hermitiques et conjugués l'un de l'autre:

\hat J_+ = \hat J_x + i \hat J_y et \hat J_- = \hat J_x - i \hat J_y, (8).

Ces relations s'inversent aussitôt en:

\hat{J}_x=(\hat{J}_+ + \hat{J}_-)/2 et \hat{J}_y=(\hat{J}_+ - \hat{J}_-)/2i, (8-bis).

Il vient dès lors aussitôt:

\hat{J}_\pm \hat{J}_\mp=(\hat{J}_x \pm i\hat{J}_y)(\hat{J}_x \mp i\hat{J}_y)=\hat{J}_x^2+\hat{J}_y^2\mp i[\hat{J}_x,\hat{J}_y]= \hat{J}_x^2+\hat{J}_y^2 \pm \hbar \hat{J}_z,

ce qui permet d'écrire:

\hat{J}^2=\frac{1}{2}\left(\hat J_+ \hat J_- +\hat J_- \hat J_+\right) + \hat{J}_z^2, (9),

d'où il est possible de déduire la relation de commutation:

\left[\hat J_+,\hat J_-\right]=2\hbar\hat J_z, (10).

Par ailleurs compte tenu de (6) et (7) les relations de commutation suivantes sont également vérifiées:

  •  [\hat J_z, \hat J_+] = + \hbar \hat J_+, (11),
  •  [\hat J_z, \hat J_-] = - \hbar \hat J_-, (12).
  •  [\hat J^2, \hat J_\pm] = 0

Ces différentes relations permettent dès lors de déterminer les états propres communs aux opérateurs \hat{J}^2 et \hat{J}_z.

Détermination des états et des valeurs propres des opérateurs J2 et de Jz[modifier | modifier le code]

Les états propres communs à \hat J^2 et \hat J_z, notés |jm\rangle sont caractérisés par deux nombres quantiques j et m, a priori réels et continus, tels que:

\hat{J}^2|jm\rangle=\hbar^2 j(j+1)|jm\rangle, et \hat{J}_z|jm\rangle= \hbar m|jm\rangle.

Les définitions des opérateurs et les relations de commutation (6) imposent de fortes restrictions sur les valeurs possibles de j et m.

Le nombre quantique j est positif ou nul[modifier | modifier le code]

D'après la définition de l'opérateur \hat{J}^2 il vient:

\langle jm|\hat{J}^2|jm\rangle = \hbar^2 j(j+1) = \sum_{i=1}^{3} \left|\hat{J}_i|jm\rangle \right|^2 \geqslant 0,
,

par suite j \geqslant 0.

Le nombre quantique m est compris entre -j et +j[modifier | modifier le code]

D'après (9) et (10) il vient:

\langle jm|\hat{J}^2|jm\rangle=\hbar^2 j(j+1)=\frac{\left|\hat{J}_- |jm\rangle\right|^2+\left|\hat{J}_+ |jm\rangle\right|^2}{2} +\hbar^2 m^2,

et

\left|\hat{J}_- |jm\rangle\right|^2-\left|\hat{J}_+ |jm\rangle\right|^2=2\hbar^2 m,

par suite il vient:

\left|\hat{J}_+ |jm\rangle\right|^2=\hbar^2\left(j(j+1)-m(m+1)\right)\;\geqslant \; 0,

ce qui implique j(j+1)\geqslant m(m+1) soit au maximum m=j (pas de minimum si m<0). De même:

\left|\hat{J}_- |jm\rangle\right|^2=\hbar^2\left(j(j+1)-m(m-1)\right)\;\geqslant \; 0, en particulier \left|\hat{J}_\pm|j\pm j\rangle\right|^2 = 0, et si m > -j, \hat{J}_-|jm\rangle est vecteur propre non nul de \hat{J}^2 et \hat{J}_z avec les valeurs propres \hbar^2 j(j+1) et \hbar (m-1), ce qui implique j(j+1)\geqslant m(m-1) soit au minimum m=-j.

Il vient finalement -j\leqslant m\leqslant +j, (13).

Par ailleurs, en prenant une convention de phase nulle, l'action des opérateurs d'échelle sur les états propres |jm\rangle est donnée par:

 J_\pm |jm\rangle = \hbar\sqrt{ j(j+1)-m(m\pm 1)} |j m\pm 1\rangle , (14).

Ainsi l'action des opérateurs \hat{J}_\pm est d'augmenter (+) ou d'abaisser (-) d'une unité le nombre quantique m, sans modifier j, d'où le nom d'opérateurs d'échelle qui leur est donné (à rapprocher des opérateurs d'échelle \hat{a} et \hat{a}^\dagger défini pour l'oscillateur harmonique quantique).

Les seules valeurs admissibles de j sont entières ou demi-entières[modifier | modifier le code]

D'après (13) il existe nécessairement un entier q, positif ou nul, tel que -j\leqslant m-q < -j+1. Si partant de |jm\rangle l'opérateur d'échelle \hat{J}_- est utilisé q fois, il génère la suite de vecteurs propres |jm\rangle,\hat{J}_-|jm\rangle,\ldots,(\hat{J}_-)^q|jm\rangle communs à \hat{J}^2 et \hat{J}_z de valeur propres respectives \hbar^2j(j+1) et \hbar m,\hbar (m-1),\ldots,\hbar (m-p).

Dès lors, si l'on suppose que m - p > -j, une nouvelle action de \hat{J}_- sur le vecteur (\hat{J}_-)^q|jm\rangle donne d'après ce qui précède un vecteur propre non nul commun à \hat{J}^2 et \hat{J}_z, de valeurs propres respectives \hbar^2j(j+1) et \hbar (m-p-1), avec m-q-1<-j, ce qui est en contradiction avec le résultat (13). Par suite, il faut obligatoirement qu'il existe un entier q, positif ou nul, tel que m - p = -j. Un raisonnement analogue utilisant l'opérateur d'échelle \hat{J}_+ montre qu'il existe un entier r positif ou nul, tel que m + r = j, par suite, il vient que 2j = q + r, q et r étant des entiers positifs, ce qui implique nécessairement:

  • que le nombre quantique j soit entier ou demi-entier[4];
  • que le nombre quantique m varie par saut d'une unité entre -j et j.

Synthèse des résultats[modifier | modifier le code]

Les états propres |jm\rangle communs à \hat{J}^2 et \hat{J}_z sont donc tels que:

  • \hat{J}^2|jm\rangle = \hbar^2j(j+1)|jm\rangle avec j entier ou demi-entier positif;
  • \hat{J}_z|jm\rangle=\hbar\; m|jm\rangle avec -j\leqslant m \leqslant j, par saut d'une unité.

Il convient de souligner que ces propriétés sont intrinsèques au moment cinétique, puisque qu'elles résultent uniquement des relations de commutations (6) et (7). Le cas des opérateurs de moment cinétique avec j entier correspond au moment cinétique orbital, celui avec j demi-entier aux opérateurs de moment cinétique de spin.

Les états propres correspondant à une valeur donnée de j sont 2j+1 dégénérés. Par ailleurs la formule (14) montre que l'action des opérateurs \hat{J}_\pm, ou de façon équivalente d'après (bis) \hat{J}_{x,y} sur un état propre |jm\rangle est de passer à une combinaison linéaire d'états propres correspondant à la même valeur de j.

Les différents états propres \{|j-j\rangle,|j -j+1\rangle,\ldots,|jj-1\rangle,|jj\rangle\} constituent donc la base d'un sous-espace vectoriel propre \mathcal{E}(j), de dimension 2j+1, invariant sous l'action des opérateurs \hat{J}^2, \hat{J}_{x,y} et \hat{J}_z. Sur le plan mathématique, cela implique que les représentations matricielles dans la base des états propres \{|jm\rangle\} de ces opérateurs sont bloc-diagonales, chaque bloc ayant pour dimension 2j+1.

Application au moment cinétique orbital et au spin[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : moment cinétique orbital et spin.

Dans un atome ou une molécule les moments cinétiques principaux sont :

  • Le moment cinétique orbital  \hat L
  • Le moment cinétique de spin  \hat S


  • Le nombre quantique L associé au moment cinétique orbital est un nombre entier positif.
  • Le nombre quantique S associé au moment cinétique de spin dépend de la particule. Il est entier pour les particules appelées bosons et demi-entier pour les particules appelées fermions.

exemple :

  • Le spin de l'électron qui est un fermion est S=1/2
  • Le spin d'un photon qui est un boson est S=1

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Ce symbole est nul si deux quelconques des indices sont égaux, égal à +1 si le triplet (i,j,k) se déduit par une permutation circulaire du triplet (x,y,z), -1 sinon. Par exemple εzxy= +1 et εyxz= -1.
  2. De façon synthétique, à tout groupe de Lie compact G (i.e. dont les paramètres (x_1,\ldots,x_N)\in \R \text{ ou } \C sont bornés), et tel que \forall g \in G, g(0,\ldots,0)= \hat{1} (\hat{1} est l'identité dans le groupe G), il est possible d'associer un espace vectoriel ordinaire dont une base est donnée par les générateurs définis par X_i=\left. \frac{\partial g}{\partial x_i}\right|_{x_i =0,\; i=1,\ldots,N}. Ces générateurs constituent une algèbre de Lie associée au groupe de Lie G, avec des relations de commutation de la forme \left[X_i,X_j\right]=C_{ijk} X_k, les constantes c_{ijk} étant les constantes de structure de l'algèbre de Lie associée.
  3. Nommés d'échelle puisqu'ils servent à « monter » ou « descendre » dans les états quantiques.
  4. C'est-à-dire égal à un entier impair divisé par 2.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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