Moment cinétique (mécanique classique)

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Moment cinétique

alt=Description de cette image, également commentée ci-après

Un gyroscope tournant sur un clou

Symbole usuel \vec{L_O} ou \vec{\sigma_O}
Unités SI kg.m2.s-1
Dimension M.L2.T-1
Grandeur extensive oui
Grandeur conservative oui
Nature vecteur (mécanique classique), opérateur (mécanique quantique), tenseur (relativité restreinte)
Expressions \vec{L}_O = \overrightarrow{OM}\wedge\vec{p}

En physique, le moment cinétique ou moment angulaire d'un point matériel M est le moment de la quantité de mouvement \vec{p} par rapport à un point O, c'est-à-dire le produit vectoriel de \overrightarrow{OM} et de \vec{p}. C'est un champ équiprojectif, donc un torseur.

Cette grandeur physique joue dans le cas d'une rotation, un rôle analogue à celui de la quantité de mouvement pour une translation : si la conservation de la quantité de mouvement pour un système isolé est liée à l'invariance par translation dans l'espace (propriété d'homogénéité de l'espace), la conservation du moment cinétique est liée à l'isotropie de l'espace.

De façon plus générale, si pour un système quelconque (dans un référentiel galiléen), la variation temporelle de la quantité de mouvement (du centre d'inertie) est donnée par la somme des forces extérieures agissant sur le système d'après la relation fondamentale de la dynamique, la variation temporelle du moment cinétique est liée à la somme des moments des forces extérieures agissant sur ce même système. De même, dans le cas d'un solide l'énergie cinétique totale se décompose en l'énergie du centre d'inertie, proportionnelle au carré de la quantité de mouvement du centre d'inertie, et un terme faisant intervenir le moment cinétique propre du solide, lié à sa rotation propre.

Le lien entre moment angulaire et rotation est encore plus net en mécanique analytique et surtout en mécanique quantique (cf. moment cinétique en mécanique quantique) où ce concept est enrichi, avec l'apparition de moment cinétique sans équivalent classique (cf. notion de spin).

Le moment angulaire dépend non seulement du référentiel d'étude (R) mais aussi du choix de l'origine O, par suite, il n'est pas possible de combiner en général des moments angulaires ayant des origines différentes. Son unité est le kg.m2.s-1.

Cas d'un point matériel[modifier | modifier le code]

On appelle point matériel ou corps ponctuel un système mécanique dont les dimensions sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite…). Le système mécanique est alors modélisé par un point géométrique M auquel est associé sa masse m. Le cas du point matériel permet d'introduire simplement la notion de moment cinétique, qui peut être généralisée par additivité à un système de points matériels.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour un point matériel M de vecteur position \vec{r}=\vec{OM}, le moment cinétique (ou angulaire) \vec{L_O} par rapport à l'origine O est défini par

\vec{L}_O=\vec{OM} \wedge \vec{p}=\vec{r}\wedge \vec{p}, (1)[1],

\vec{p}=m\vec{v} est la quantité de mouvement de la particule. Le moment cinétique est donc le moment de cette dernière par rapport à O.

L'intérêt de l'introduction de cette grandeur vient de la relation entre sa variation temporelle (dérivée) et la somme des moments des forces extérieures appliquées au système: c'est le théorème du moment cinétique.

Théorème du moment cinétique pour un point matériel[modifier | modifier le code]

La dérivation membre à membre de la définition (1) du moment angulaire, permet d'obtenir, en supposant O fixe dans (R):

\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\frac{\vec{dr}}{dt}\wedge \vec{p}+\vec{r}\wedge \frac{\vec{dp}}{dt}=\vec{r}\wedge \frac{\vec{dp}}{dt},

puisque \frac{\vec{dr}}{dt} et \vec{p}=m\vec{v} sont colinéaires.

Du fait de la relation fondamentale de la dynamique: \frac{\vec{dp}}{dt}=\sum_{i} \vec{F_{i}}, (2), le terme de droite représentant la somme des forces \vec{F_{i}} (réelles ou "d'inertie") exercées sur le corps, il vient l'équation suivante,
dite théorème du moment cinétique: \frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\vec{r}\wedge \sum_{i} \vec{F_{i}}=\sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right), (3)[2].


\vec{\mathcal{M}_{O}}\left ( \vec{F_{i}}\right)= \vec{r}\wedge \vec{F_{i}} est le moment de la force \vec{F_{i}} par rapport au point O. Cette grandeur (appelée en anglais torque) correspond donc à la variation du moment cinétique en O qu'engendre l'action de la force \vec{F_{i}}.

Si \sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right)=\vec{0} alors \vec{L}_O=\vec{\text{cte}} est une integrale première du mouvement.

Interprétation physique:' la relation (3) est très similaire à la relation fondamentale de la dynamique. Si cette dernière relie forces extérieures appliquées au point matériel et variation de sa quantité de mouvement, le théorème du moment cinétique relie la somme des moments de ces forces par rapport à un point donné et variation du moment cinétique par rapport à ce même point. Or le moment d'une force par rapport à un point traduit en quelque sorte la "propension" de cette force à faire "tourner" le système autour de ce point[3]. Intuitivement, le théorème du moment cinétique est une sorte d'équivalent de la relation fondamentale de la dynamique pour ce qui est de la rotation du point M par rapport à O. Cette relation entre moment cinétique et rotation spatiale est nettement plus claire dans le cadre de la mécanique analytique.

Exemples d'application[modifier | modifier le code]

Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle de centre O et de rayon r : \vec{L_{O}} est dirigé selon l'axe du disque et vaut \vec{L_{O}} =  \vec{k} \cdot mvr. Le sens \vec{k} du vecteur moment cinétique ne recouvre pas une réalité physique mais est une convention ; c'est un vecteur axial.

Animation montrant la relation entre la force (F), son moment par rapport à l'origine (τ), le moment cinétique (L) relatif à cette même origine, la quantité de mouvement (p), pour un mouvement de rotation autour d'un axe.

La figure ci-contre permet de préciser les relations entre les diverses grandeurs physiques.

Par analogie avec la quantité de mouvement, le moment cinétique permet de définir l'analogue de la masse : le moment d'inertie I. En effet

\vec{L_{O}}=\vec{r}\wedge \vec{p}=m  \vec{r}\wedge \vec{v}= mr^{2}\dot{\theta} \vec{k} = I \dot{\theta} \vec{k}, ( \dot{\theta} est la vitesse angulaire du point M),

avec I=mr^{2}. La notion de moment d'inertie est détaillée plus loin dans la partie consacrée à la définition du moment cinétique pour un système matériel.

En faisant correspondre à la vitesse angulaire \dot{\theta} du point matériel le vecteur axial \vec{\omega}=\dot{\theta} \vec{k} , dit vecteur rotation, le moment cinétique s'écrit finalement dans ce cas:

\vec{L_{O}}= I \vec{\omega}.

Cette expression se retrouve pour un solide en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude, mais le moment d'inertie I a alors une expression différente de celle donnée plus haut.

Moment cinétique et isotropie[modifier | modifier le code]

La notion d'isotropie de l'espace traduit l'équivalence de toutes les directions dans celui-ci: dire que l'espace est isotrope signifie donc aussi qu'il est invariant par toute rotation spatiale autour d'un point quelconque. Cette propriété est en particulier valable pour un système dit isolé, c'est-à-dire qui n'est soumis à aucune action extérieures.

Dans le formalisme hamiltonien[4], cela implique que la fonction de Hamilton H\left(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_n;\vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_n\right) de tout système isolé de n points matériels soit invariante par toute rotation globale du système autour de l'origine O (arbitraire). En particulier, cela sera valable pour une rotation élémentaire arbitraire de vecteur \overrightarrow{\delta\phi} tel que la variation du vecteur position \vec{r}_i soit donnée par \delta\vec{r}_i=\overrightarrow{\delta\phi}\wedge\vec{r}_i.

En utilisant les coordonnées cartésiennes, pour lesquelles les impulsions généralisées \vec{p}_i sont identiques aux quantités de mouvement des différents points matériels Mi, ce qui permet d'écrire \delta\vec{p}_i=\overrightarrow{\delta\phi}\wedge\vec{p}_i, et les équations canoniques de Hamilton se mettent sous la forme vectorielle:

\begin{cases} \dot{\vec{r}}_i=\vec{\nabla}_{\vec{p}_i}H  \\ \dot{\vec{p}}_i=-\vec{\nabla}_{\vec{r}_i}H \end{cases},

il est possible d'exprimer la variation correspondante de H résultant de la rotation élémentaire de vecteur \overrightarrow{\delta\phi} par:

\delta H= \sum_{i=1}^{n} \left(\vec{\nabla}_{\vec{r}_i}H\cdot(\delta\vec{r}_i)+\vec{\nabla}_{\vec{p}_i}H\cdot(\delta\vec{p}_i)\right),

soit d'après les équations de Hamilton:

\delta H= \sum_{i=1}^{n} \left(-\dot{\vec{p}}_i\cdot(\overrightarrow{\delta\phi}\wedge\vec{r}_i)+\dot{\vec{r}}_i\cdot(\overrightarrow{\delta\phi}\wedge\vec{p}_i)\right)=-\overrightarrow{\delta\phi}\cdot\left[\sum_{i=1}^{n}\left(\vec{r}_i\wedge\dot{\vec{p}}_i+\dot{\vec{r}}_i\wedge\vec{p}_i\right)\right],

au final il vient:

\delta H = -\overrightarrow{\delta\phi}\cdot\left[\frac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i\wedge\vec{p}_i\right)\right].

Puisque ce résultat est valable pour toute rotation élémentaire arbitraire, l'isotropie de l'espace pour un système isolé implique alors que la quantité \vec{L}_O \equiv\sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i\wedge\vec{p}_i, appelé moment cinétique du système par rapport à l'origine O, soit une constante du mouvement. Il est clair que pour un seul point matériel, \vec{L}_O est bien identique à la définition donnée plus haut.

Par ailleurs en procédant toujours en coordonnées cartésiennes, en compte tenu de l'équation de Hamilton \dot{\vec{p}}_i=-\vec{\nabla}_{\vec{r}_i}=\vec{F}_i, résultante des forces appliquées au point matériel Mi, il est possible de déduire le théorème du moment cinétique: \frac{d}{dt}\vec{L}_O=\sum_{i=1}^{n}\left(\vec{r}_i\wedge\dot{\vec{p}}_i+\dot{\vec{r}}_i\wedge\vec{p}_i\right)=\sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i\wedge\vec{F}_i=\sum_{i=1}^{n} M_O(\vec{F}_i).

La conservation du moment cinétique par rapport à un point O est donc directement lié à l'invariance par rotation du hamiltonien (ou du Lagrangien) du système: c'est en particulier le cas pour un système non-isolé mais soumis à un champ extérieur possédant une invariance par rotation autour de O. Ce type de champ très important en physique est un champ à force centrale, de centre de force O: son mouvement est alors caractérisé par la conservation du moment cinétique du système par rapport à O.

De même, l'invariance par rotation autour d'un axe donné du hamiltonien du système (symétrie axiale) impliquera la conservation de la composante du moment cinétique du système par rapport à cet axe, puisque alors \delta H=0 pour toute rotation élémentaire autour de cet axe.

La résultante \vec{C} du moment en un point O des forces appliquées au système, donc la dérivée du moment cinétique en ce même point, est elle directement liée à la variation du hamiltonien dans une rotation élémentaire du système d'un angle δϕ autour de O.

Enfin, il est possible en utilisant les crochets de Poisson de montrer la relation suivante entre les composantes cartésiennes L_{Oi} du moment cinétique, en posant L_{O1}=L_x,L_{O2}=L_y,L_{O3}=L_z:

\{L_{Oi},L_{Oj}\}=\epsilon_{ijk} L_{Ok}, \epsilon_{ijk} étant le symbole de Levi-Civita.

Cette relation à une forme très proche de celle de la relation de commutation des opérateurs de moment cinétique en mécanique quantique \left[\widehat{\textbf{\textit{L}}}_{i},\widehat{\textbf{\textit{L}}}_{j}\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}\widehat{\textbf{\textit{L}}}_{k}.

Moment cinétique et mouvement à force centrale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : mouvement à force centrale.

Cas général[modifier | modifier le code]

Notion de force centrale[modifier | modifier le code]

Démonstration du moment angulaire

Un cas particulier très important d'utilisation du moment cinétique est celui du mouvement à force centrale, pour lequel le moment cinétique est conservé.

La notion de force centrale est définie de façon diverses suivant les auteurs:

- soit comme une force \vec{F} dont la direction passe par un point fixe dans (R), appelé centre de force, donc en posant \vec{r}=\overrightarrow{OM} telle que \vec{F}=F\frac{\vec{r}}{r} à tout instant, F étant quelconque : il s'agit donc d'une définition purement géométrique;

- soit comme une force dont non seulement la direction passe à tout instant par un point fixe O, mais qui dérive d'un potentiel V = V(r) ne dépendant que de la distance au centre de force : il s'agit donc d'une force également conservative.

Si en pratique les cas de mouvement à force centrale se limite le plus souvent à des forces conservatives (gravitation par exemple), il est utile de distinguer les deux notions de force centrale et de force conservative. Aussi une force sera considérée comme centrale si à tout instant sa direction passe par un point fixe O, qu'elle soit ou non conservative.

Ceci permet de distinguer dans les conséquences du caractère "central" de la force ce qui est liée à l'aspect géométrique (\vec{F} est toujours colinéraire à \vec{r}) de ce qui est lié à un éventuel caractère conservatif, donc le fait que l'énergie mécanique du point matériel est conservée.


Ainsi si toute force dérivant d'un potentiel scalaire dépendant uniquement de la distance r à l'origine est centrale, une force non-conservative a priori comme la tension du fil d'un pendule simple, qui pointe à tout instant vers le point de fixation du pendule, sera également considérée comme une force centrale avec cette définition[5]

Conservation du moment cinétique et planéité de la trajectoire[modifier | modifier le code]

Le mouvement d'un point matériel M sous le seul effet d'une force centrale est un exemple de mouvement pour lequel le moment cinétique par rapport au centre de force est conservé[6]. En effet, en prenant pour origine O, le théorème du moment cinétique (3) donne :

\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\overrightarrow{OM}\wedge\vec{F} = \vec{0}, puisque \overrightarrow{OM} et \vec{F} sont à tout instant colinéaires si la force est centrale.

Par suite le moment cinétique \vec{L_{O}}=\vec{r}\wedge \vec{p}=\vec{cte} est une intégrale première du mouvement, et donc le vecteur position \vec{r} et la quantité de mouvement \vec{p} du corps sont à tout instant perpendiculaires à un vecteur de direction constante : la trajectoire est donc plane, entièrement contenue dans le plan perpendiculaire à \vec{L_{O}}=\vec{r_{0}}\wedge \vec{p_{0}} (l'indice "0" désigne les valeurs initiales des grandeurs).

Le mouvement ne comportant que deux degrés de liberté il est possible de se placer en coordonnées polaires (r,θ) dans le plan de la trajectoire. Il vient ainsi \vec{L_{O}}=L\vec{e_{z}}, avec L\equiv mr^{2}\dot{\theta} constante.

Loi des aires et formule de Binet[modifier | modifier le code]

La conservation du moment cinétique par rapport au centre de force O peut s'interpréter physiquement par le fait que non seulement la trajectoire est plane mais également que le vecteur position du point matériel "balaie des aires égales en des temps égaux", autrement dit que le mouvement vérifie la loi des aires, mis en évidence par Kepler en 1609 dans le cas du mouvement des planètes (cf. loi de Kepler)[7].

En effet en posant C = r^2\dot{\theta} (= constante), l'aire élémentaire d\mathcal{A} balayée par \vec{r} pendant la durée dt s'écrit d\mathcal{A}= \tfrac{1}{2}r^2d\theta = \tfrac{1}{2}Cdt. Par suite le taux de variation de cette aire balayée, appelé vitesse aérolaire  \tfrac{d\mathcal{A}}{dt} = C/2 est bien une constante, la quantité C est souvent appelée pour cette raison constante des aires.

Par ailleurs, le fait que C = r^2\dot{\theta} soit une constante du mouvement permet d'exprimer \dot{\theta} sous la forme \dot{\theta}=u^2C avec u=1/r. On peut alors éliminer \dot{\theta} dans les formules cinématiques donnant la vitesse et l'accélération du point matériel en coordonnées polaires, ce qui conduit à établir les deux formules de Binet. En particulier il est possible de démontrer que l'accélération du point matériel se met alors sous la forme:

\vec{a}_M=-u^2C^2\left[\frac{d^2u}{d\theta^2}+u\right]\vec{e}_r, (2ème de formule de Binet).

Bien entendu, cette formule montre bien que l'accélération est dirigée vers le centre de force, puisque la force l'est, comme le prévoit la relation fondamentale de la dynamique. Il est utile de souligner que la loi des aires comme les formules de Binet sont des conséquences du seul caractère central de la force, et n'implique pas que celle-ci soit conservative.

Séparation radiale-angulaire de l'énergie cinétique et barrière centrifuge[modifier | modifier le code]

Compte tenu du fait que v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2} en coordonnées polaires, l'énergie cinétique du point matériel peut dans le cas d'un mouvement à force centrale se séparer en une partie dite radiale et une partie dite angulaire. En effet il vient aussitôt:

E_{k}=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}},

le premier terme est identique à celui qu'aurait l'énergie cinétique du point matériel s'il se déplaçait à vitesse v=\dot{r} le long de la direction \vec{e}_r, et donc est correspond à l’énergie cinétique radiale. Le second terme, dit angulaire de par son lien avec le mouvement orthoradial, correspond plutôt à une énergie potentielle "répulsive" en 1/r^2, dans la mesure où L est constant, pour un point matériel considéré comme en mouvement unidimensionnel selon la direction radiale. Ce terme est souvent appelé barrière centrifuge.

Si là encore la séparation radiale-angulaire de l'énergie cinétique est uniquement la conséquence du caractère central de la force et ne nécessite nullement que celle-ci soit conservative, elle a une importance particulière dans ce dernier cas, car il est alors possible de se ramener à un mouvement unidimensionnel.

Cas où la force centrale dérive d'une énergie potentielle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : problème à deux corps.

Si la force centrale \vec{F} dérive d'une énergie potentielle V(r), l'énergie mécanique du corps se met sous la forme: E_{m} = \frac{1}{2}m\dot{r}^{2} + U_{\text{eff}}(r) avec U_{\text{eff}}(r)\equiv V(r) + \frac{L^{2}}{2mr^{2}}, énergie potentielle effective.

Le problème se réduit alors à un mouvement unidimensionnel d'une particule fictive dans un potentiel U_{\text{eff}}(r). Le terme \frac{L^{2}}{2mr^{2}} étant positif et croissant à courte distance, il joue le rôle de "barrière de potentiel centrifuge". La nature des mouvements possible dépend alors du potentiel V(r) ainsi que de l'énergie mécanique totale du point matériel.

En général les trajectoires obtenues pour une énergie potentielle V(r) quelconque ne sont pas des courbes fermées : seuls le potentiel coulombien attractif V(r)=-\frac{K}{r} (K constante) et le potentiel harmonique V(r)=\alpha r^{2} en donneront (Théorème de Bertrand)[8] (cf. problème à deux corps).

Cas d'un système matériel[modifier | modifier le code]

Moment cinétique[modifier | modifier le code]

La notion de moment cinétique se généralise sans difficulté par additivité à un système matériel, c'est-à-dire à un corps que l'on peut assimiler à un simple point géométrique. Le moment angulaire total est obtenu en additionnant ou intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est également possible de se placer dans la limite des milieux continus pour décrire certains systèmes mécaniques (solides, notamment).

Suivant que l'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du système (S) par rapport à un point O s'écrit :

\vec{L_{O}}=\sum_{i} \vec{OM_{i}}\wedge \vec{p_{i}} ou \vec{L_{O}}=\int_{(S)} \vec{OM}\wedge \rho (M)\vec{v_{M}}d\tau

Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le théorème de Koenig relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.

Théorème de Koenig pour le moment cinétique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorèmes de König (mécanique).

Soit G le centre d'inertie du système, M la masse totale du système alors il est possible de montrer que pour tout système matériel:

\vec{L_{A}}=\vec{L}^* + \vec{AG}\wedge M\vec{v_{G}},

\vec{L}^*=\sum_{i} \overrightarrow{AM}_i \wedge (m_i \vec{v}_i^*) étant le moment cinétique propre du système, c'est-à-dire celui évalué dans le référentiel barycentrique (R*) associé à (R), qui est le référentiel lié à G dont les axes sont en translation par rapport à ceux de (R). Il est possible de montrer de par les propriétés du centre d'inertie G qu'en fait le moment cinétique propre ne dépend pas du point A où il est évalué, et est tel que \vec{L}^*=\vec{L}_G.

Le moment cinétique d'un système fermé en un point est donc égal au moment cinétique du centre d'inertie G affecté de la masse totale en ce point, augmenté du moment cinétique propre du système. Il est donc possible de séparer le mouvement du centre d'inertie du mouvement propre du système.

La séparation des deux types de moment cinétique par le théorème est assez intuitive: ainsi pour la Terre, dans le référentiel héliocentrique, il est a priori évident que l'on a un moment cinétique "orbital" lié à son mouvement de révolution autour du Soleil, et un moment cinétique "propre", lié à sa rotation propre autour de l'axe des pôles.

Cas d'un solide : tenseur d'inertie[modifier | modifier le code]

Pour un solide (S), la vitesse de tout point Mi est donnée dans le référentiel barycentrique (R*) par le champ des vitesses \vec{v}_i^*=\vec{\omega}\wedge\overrightarrow{GM}_i,
avec \vec{\omega} vecteur rotation du solide (S) par rapport à (R*) ou (R), puisque (R*) est en translation relativement à (R).

Il vient dès lors l'expression suivante pour le moment cinétique propre \vec{L}^* du solide (S):

\vec{L}^*=\sum_{i} m_i \overrightarrow{GM}_i\wedge\left(\vec{\omega}\wedge\overrightarrow{GM}_i\right)=\sum_{i} m_i\left((GM_i^2\vec{\omega}-\overrightarrow{GM}_i(\overrightarrow{GM}_i\cdot\vec{\omega})\right),

en posant en coordonnées cartésiennes \vec{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\omega_z) et \overrightarrow{GM}_i=(x_i,y_i,z_i), il vient pour les différentes composantes de \vec{L}^*:

\begin{cases} L_x^*=\omega_x\left(\sum_{i} m_i(y_i^2+z_i^2)\right)-\omega_y\left(\sum_{i} m_i x_i y_i\right)-\omega_z\left(\sum_{i} m_i x_i z_i\right) \\ L_y^*=-\omega_x\left(\sum_{i} m_i x_i y_i\right)+\omega_y\left(\sum_{i} m_i(x_i^2+z_i^2)\right)-\omega_z\left(\sum_{i} m_i y_i z_i\right) \\ L_z^*=-\omega_x\left(\sum_{i} m_i x_i z_i\right)-\omega_y\left(\sum_{i} m_i y_i z_i\right)+\omega_z\left(\sum_{i} m_i(x_i^2+y_i^2)\right) \end{cases},

qui peut aussi s'écrire sous la forme intrinsèque \vec{L}^*=\bar{\bar{I}}\vec{\omega},
avec \bar{\bar{I}}=\begin{bmatrix}\sum_{i} m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_{i} m_i x_i y_i & - \sum_{i} m_i x_i z_i \\ -\sum_{i} m_i x_i y_i & \sum_{i} m_i(x_i^2+z_i^2) &-\sum_{i} m_i y_i z_i\\ -\sum_{i} m_i x_i z_i & -\sum_{i} m_i y_i z_i & \sum_{i} m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix}, tenseur d'inertie du solide (S).

Il en résulte qu'en général le moment cinétique propre du solide \vec{L}^* n'est pas colinéaire à son vecteur rotation \vec{\omega} dans (R).

Le tenseur d'inertie est une caractéristique propre du solide (S), et donne la répartition des masses en son sein. Il s'agit d'un tenseur symétrique. Ses éléments diagonaux sont constitués des moments d'inertie du solide par rapport aux axes (Ox), (Oy) et (Oz) respectivement, et ses éléments non-diagonaux sont égaux à l'opposé des moments d'inertie par rapport aux plans (xOy), (xOz) et (yOz).

Il est possible de diagonaliser ce tenseur par un choix judicieux des axes, dit axes principaux d'inertie.

Dans le cas où le solide (S) est en rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans (R), la relation précédente devient par projection sur axe: \vec{L}^*=I_\Delta \vec{\omega}, avec I_\Delta = \sum_{i} m_i r_{i\Delta}^2, moment d'inertie par rapport à l'axe (Δ) (r_{i\Delta} représente la distance entre l'axe (Δ) et le point Mi).

Moment cinétique relativiste[9][modifier | modifier le code]

La notion de moment cinétique peut être défini dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte, sous la forme d'un tenseur antisymétrique.

Dans le domaine relativiste, il n'est pas possible de considérer les coordonnées d'espace indépendamment du temps, et aux vecteurs position \vec{r} et quantité de mouvement \vec{p}=m\vec{v} de la mécanique newtonienne, correspondent deux quadrivecteurs:

  • le quadrivecteur position-temps, noté \mathbf{X}, avec \mathbf{X}=(ct,\vec{r});
  • le quadrivecteur impulsion-énergie, noté \mathbf{P}, avec \mathbf{P} = \left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right) = (\gamma mc,\gamma m\vec{v}), où E=\gamma m c^2 et \mathbf{p}=\gamma m\vec{v} correspondent respectivement à l'énergie et la quantité de mouvement relativistes de la particule. Le quadrivecteur impulsion-énergie est en fait donné par \mathbf{P}=m\mathbf{U}\mathbf{U} est le quadrivecteur vitesse, défini par \mathbf{U}=\frac{d\mathbf{X}}{d\tau}=\gamma \frac{d\mathbf{X}}{dt}=(\gamma c,\gamma \vec{v}), \vec{v} étant le vecteur vitesse "ordinaire" de la particule.

Les composantes de ces deux quadrivecteurs étant notées X^\alpha et P^\alpha avec α = 0,1,2,3, il est possible de définir un (quadri)tenseur contravariant antisymétrique du second ordre \mathbf{M} appelé (quadri)tenseur moment cinétique dont les composantes sont données par:

M^{\alpha\beta}=X^\alpha P^\beta - X^\beta P^\alpha,

du fait de son caractère antisymétrique, ce tenseur ne possède en réalité que 6 composantes indépendantes, trois mixtes (M01, M02 et M<03) et trois autres du genre espace (M12, M23 et M<13). En explicitant ces dernières, il vient aussitôt:

\begin{cases} 
M^{12} = \gamma m\left(xv_y-v_x y\right)=\gamma L_z \\
M^{13} = \gamma m\left(xv_z-v_x z\right)=-\gamma L_y \\ 
M^{23} = \gamma m\left(yv_z-v_y z\right)=\gamma L_x 
\end{cases},


L_x,L_y,L_z représentent les composantes cartésiennes du moment cinétique non-relativiste. Dans la limite des faibles vitesses devant c, γ → 1 et les trois composantes spatiales indépendantes du tenseur coïncident, au signe près, à celle du moment cinétique "ordinaire".

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. \wedge est l'opérateur produit vectoriel.
  2. Par rapport à un point O mobile dans (R), le théorème du moment cinétique s'écrit: \frac{\vec{dL_{O}}}{dt}+\vec{v_{O}}\wedge \vec{p}=\sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right), la seule différence vient de l'addition d'un terme complémentaire \vec{v_{O}}\wedge \vec{p} dans le membre de gauche de la relation (3).
  3. De façon plus rigoureuse, il faut considérer un axe 0) passant pr O et perpendiculaire au plan formé par (\vec{F},\vec{r}), de vecteur unitaire \vec{e}_\Delta. Le moment par rapport à l'axe 0) est alors donné par \mathcal{M}_{\Delta_O} = \vec{e}_{\Delta}\cdot\left(\vec{r}\wedge\vec{F}\right)=\vec{F}\cdot\left(\vec{e}_{\Delta}\wedge\vec{r}\right)=r\vec{F}\cdot\left(\vec{e}_{\Delta}\wedge\vec{r}_r\right)=(r\cos{\theta})F=d_\Delta F, avec θ angle entre \vec{r} et \vec{F}, dΔ étant la distance entre l'axe0) et la droite support de \vec{F} (ou bras de levier). Cette quantité traduit bien l'effet de \vec{F} et ce qui concerne la rotation de M autour de l'axe0).
  4. La démonstration se fait de la même façon en formalisme Lagrangien, en tenant compte du fait que le par définition p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}.
  5. Dans cette situation cependant s'ajoute le poids de la masselotte attachée au fils, qui est une force non-centrale
  6. Cependant l'exemple le plus important (et "historique") de mouvement à force centrale est le problème à deux corps, pour lequel on considère deux points matériels en interaction gravitationnelle. Comme il est indiqué dans l'article qui y est consacré, il se ramène en fait à un problème à un seul corps (particule fictive) soumis à une force centrale, aussi la situation envisagée ici à un intérêt.
  7. Kepler a mis en évidence cette propriété par le calcul, sans pouvoir l'expliquer. C'est Newton en 1687 qui expliquera l'origine de cette "loi".
  8. Cela provient de l'existence, pour ces potentiels, d'une intégrale première additionnelle (pour le potentiel coulombien, il s'agit du vecteur de Runge-Lenz), associé à une symétrie supplémentaire (par transformation du groupe O(4)).
  9. Pour cette partie, cf. Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr., John L. Safko, Classical mechanics [détail des éditions] et Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], chapitre 2.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

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