Module d'élasticité isostatique

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Le module d'élasticité isostatique[1] (bulk modulus en anglais) est la constante qui relie la contrainte au taux de déformation d'un matériau isotrope soumis à une compression isostatique.

Généralement noté K (B en anglais), il permet d'exprimer la relation de proportionnalité entre le premier invariant du tenseur des contraintes et le premier invariant du tenseur des déformations :

MODULE D'ÉLASTICITÉ ISOSTATIQUE
de quelques matériaux
Air 101 kPa (isotherme)
(142 kPa en adiabatique)
Eau 2,2 GPa (augmente avec la pression)
Verre 35 à 55 GPa
Acier 160 GPa
Diamant 442 GPa
s = K·e

où :

  • s=\sum_{i} \frac{1}{3}\sigma_{ii} est la contrainte isostatique (en unité de pression),
  • K est le module d'élasticité isostatique (en unité de pression),
  • e = \sum_{i} \varepsilon_{ii}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} est le taux de déformation isostatique[2] (sans dimension).

Il s'exprime, respectivement vis-à-vis des coefficients de Lamé ou du module de Young et du coefficient de Poisson, par :

\mathrm{K} = \lambda + \frac{2}{3}\mu = \frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}

Noter que :

  • pour ν = 0,33 on a K = E ;
  • pour ν → 0,5 on a K → ∞ (incompressibilité)

Les matériaux métalliques sont proches du premier cas (K ≈ E dans leur domaine élastique) alors que les élastomères s'approchent d'un comportement incompressible (K >> E).

On peut aussi exprimer K en fonction des modules d'élasticité en traction E et en cisaillement G :

\frac{1}{\mathrm{K}} = \frac{9}{\mathrm{E}} - \frac{3}{\mathrm{G}}


Le module d'élasticité isostatique représente la relation de proportionnalité entre la pression et le taux de variation du volume :

\Delta \mathrm{P} = -\mathrm{K} \cdot \frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}_0}
Isostatic pressure deformation.png

C'est l'inverse du coefficient de compressibilité isotherme χT défini en thermodynamique par :

\frac{1}{\mathrm{K}} = \chi_T = -\frac{1}{\mathrm{V}} \cdot \left ( \frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{P}} \right )_\mathrm{T}

Références[modifier | modifier le code]

  1. synonymes : module d'élasticité à la compression isostatique, module de rigidité à la compression, module d'élasticité cubique, module d'incompressibilité, module de compression hydrostatique, module de dilatation volumique, module d'élasticité volumique, …
  2. synonymes : taux de dilatation cubique…

Source[modifier | modifier le code]

  • P. Germain , Mécanique des milieux continus, 1962, Masson et Cie.
  • G. Duvaut , Mécanique des milieux continus, 1990, Masson
Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
(\lambda, G) (E, G) (K, \lambda) (K, G) (\lambda, \nu) (G, \nu) (E, \nu) (K, \nu) (K, E) (M, G)
K = \lambda + \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G - E)} \tfrac{\lambda(1 + \nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1 + \nu)}{3(1 - 2\nu)} \tfrac{E}{3(1 - 2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E = \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K - \lambda)}{3K - \lambda} \tfrac{9KG}{3K + G} \tfrac{\lambda(1 + \nu)(1 - 2\nu)}{\nu} 2G(1 + \nu)\, 3K(1 - 2\nu)\, \tfrac{G(3M - 4G)}{M - G}
\lambda = \tfrac{G(E - 2G)}{3G - E} K - \tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1 - 2\nu} \tfrac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K - E)}{9K - E} M - 2G
G = \tfrac{3(K - \lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1 - 2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1 + \nu)} \tfrac{3K(1 - 2\nu)}{2(1 + \nu)} \tfrac{3KE}{9K - E}
\nu = \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G} - 1 \tfrac{\lambda}{3K - \lambda} \tfrac{3K - 2G}{2(3K + G)} \tfrac{3K - E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M = \lambda + 2G \tfrac{G(4G - E)}{3G - E} 3K - 2\lambda\, K + \tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1 - \nu)}{\nu} \tfrac{2G(1 - \nu)}{1 - 2\nu} \tfrac{E(1 - \nu)}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K(1 - \nu)}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K + E)}{9K - E}