Module d'élasticité isostatique

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Le module d'élasticité isostatique[1] (en anglais : bulk modulus) est la constante qui relie la contrainte au taux de déformation d'un matériau isotrope soumis à une compression isostatique.

Généralement noté K (B en anglais), il permet d'exprimer la relation de proportionnalité entre le premier invariant du tenseur des contraintes et le premier invariant du tenseur des déformations :

Module d'élasticité isostatique
de quelques matériaux
Air 101 kPa (isotherme)
(142 kPa en adiabatique)
Eau 2,2 GPa (augmente avec la pression)
Verre 35 à 55 GPa
Acier 160 GPa
Diamant 442 GPa
s = K·e

où :

  • s=\sum_{i} \frac{1}{3}\sigma_{ii} est la contrainte isostatique (en unité de pression) ;
  • K est le module d'élasticité isostatique (en unité de pression) ;
  • e = \sum_{i} \varepsilon_{ii}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} est le taux de déformation isostatique[2] (sans dimension).

Il s'exprime, respectivement vis-à-vis des coefficients de Lamé ou du module de Young et du coefficient de Poisson, par :

\rm {K} = \lambda + \frac{2}{3}\mu = \frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}

Notes :

  • pour ν = 0,33, K = E ;
  • pour ν → 0,5, K → ∞ (incompressibilité).

Les matériaux métalliques sont proches du premier cas (K ≈ E dans leur domaine élastique) alors que les élastomères s'approchent d'un comportement incompressible (K >> E).

On peut aussi exprimer K en fonction des modules d'élasticité en traction E et en cisaillement G :

\rm \frac{1}{{K}} = \frac{9}{{E}} - \frac{3}{{G}}

Le module d'élasticité isostatique représente la relation de proportionnalité entre la pression et le taux de variation du volume :

\rm \Delta {P} = -{K} \cdot \frac{\Delta {V}}{{V}_0}
Isostatic pressure deformation.png

C'est l'inverse du coefficient de compressibilité isotherme χT défini en thermodynamique par :

\rm \frac{1}{{K}} = \chi_T = -\frac{1}{{V}} \cdot \left (\frac{\partial {V}}{\partial {P}} \right )_{T}

Références[modifier | modifier le code]

  1. Synonymes : module d'élasticité à la compression isostatique, module de rigidité à la compression, module d'élasticité cubique, module d'incompressibilité, module de compression hydrostatique, module de dilatation volumique, module d'élasticité volumique, etc.
  2. Synonymes : taux de dilatation cubique…

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • P. Germain, Mécanique des milieux continus, 1962, Masson et Cie.
  • G. Duvaut, Mécanique des milieux continus, 1990, Masson