Modélisation des turbulences

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La modélisation de la turbulence est une branche de la dynamique des fluides consistant, pour la simulation numérique des écoulements turbulents, à représenter l'influence de la turbulence sur l'écoulement moyen (approches statistiques) ou des échelles non résolues sur les échelles résolues (approches filtrées). En effet, même si l'écoulement d'un fluide (newtonien) est régi par des équations connues, les Équations de Navier-Stokes, dans l'approximation des milieux continus, ces équations n'ont pas de solution analytique, sauf cas très particuliers, et leur résolution numérique (simulation directe) est à l'heure actuelle limitée à certaines configurations académiques, la puissance des ordinateurs étant très insuffisante, et le restera pour encore de nombreuses décennies.

Joseph Boussinesq est le premier à avoir proposé un modèle de turbulence, en 1877. Il a introduit le concept de Viscosité turbulente. En 1945, Ludwig Prandtl introduisit le concept de longueur de mélange, permettant de relier la viscosité turbulente aux gradients de vitesse moyenne, qui s'exprime, dans le cas simplifié d'un écoulement dit de couche mince, par:

\nu_t = l_m^2 \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right|
où:
\frac{\partial U}{\partial y} est le cisaillement moyen, c'est-à-dire la dérivée (dans la direction normale à l'écoulement) de la vitesse moyenne ;
l_m est la longueur de mélange.

Par exemple, pour un écoulement le long d'une paroi (couche limite), la longueur de mélange et la viscosité turbulente varient avec la distance à la paroi.

De nombreux modèles, beaucoup plus complexes, ont été proposés depuis[1]. Ils sont la base de la mécanique des fluides numérique (MFN, ou CFD pour Computational Fluid Dynamics) largement utilisée aujourd'hui en ingénierie[2].


Joseph Smagorinsky (1964) généralisa le concept de viscosité turbulente à l'approche filtrée de la turbulente, la simulation des grandes échelles (SGE, ou LES pour Large Eddy Simulation), pour représenter l'influence des échelles turbulentes non résolues (échelles de sous-filtre ou de sous-maille) sur les échelles résolues. Il s'agit alors d'une viscosité de sous-maille, écrite sous la forme :

\nu_t= (C_s \Delta_c)^2 \sqrt{2 \bar S_{ij} \bar S_{ij}}

La simulation des grandes échelles repose en général (mais pas toujours) sur les équations de Navier-Stokes filtrées spatialement[3],[4], [5].


Références[modifier | modifier le code]