Modèle des urnes d'Ehrenfest

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Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante[1]. Peu de temps en effet après que Boltzmann a publié son théorème H, des critiques virulentes furent formulées, notamment par Loschmidt, puis par Zermelo, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ».

Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens et des puces[2] ». Le mathématicien Mark Kac a écrit à son propos qu'il était :

« ... probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique ... »

Le modèle des urnes[modifier | modifier le code]

Définition du modèle stochastique[modifier | modifier le code]

On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé consiste à répéter l'opération suivante :

  • Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N, prendre la boule n°i, la transférer dans l'urne où elle n'était pas.

Par convention, le premier instant est t_0 = 0.

Dynamique du modèle[modifier | modifier le code]

N = 500 boules ; 10000 tirages.

Dans ce modèle, on suit au cours du temps t (discret) le nombre total de boule n(t) présentes dans l'urne A. On obtient une courbe qui part initialement de n(0)=N et commence par décroître vers la valeur moyenne N/2, comme on pourrait s'y attendre pour un « bon » système thermodynamique initialement hors d'équilibre et relaxant spontanément vers l'équilibre.

N = 4 boules ; 100 tirages. Les fluctuations autour de la moyenne sont importantes lorsque N est petit, et les récurrences à l'état initial sont particulièrement visibles.

Mais cette décroissance est irrégulière : il existe des fluctuations autour de la valeur moyenne N/2, qui peuvent devenir parfois très importantes (ceci est particulièrement visible lorsque N est petit).

En particulier, quel que soit le nombre de boules N fini, il existe toujours des récurrences à l'état initial, pour lesquelles toutes les boules reviennent dans l'urne A après une durée finie. Mais, comme le temps moyen entre deux récurrences consécutives croît très rapidement avec N, ces récurrences ne nous apparaissent pas lorsque N est très grand.



Version « modèle des chiens et des puces »[modifier | modifier le code]

Dans cette version, les deux urnes sont remplacées par deux chiens, et les N boules par N puces, sautant d'un chien à l'autre.

Récurrences & théorème de Kac (1947)[modifier | modifier le code]

Récurrences à l'état initial[modifier | modifier le code]

Il existe des récurrences à l'état initial, caractérisées par une suite dénombrable d'instants  \{ t_n \}_{n=1, 2, \dots } finis pour lesquels toutes les boules reviennent dans l'urne A, c’est-à-dire que l'on a :  n(t_n) = N (par convention, on pose  t_0 = 0 ). On peut alors définir une nouvelle suite dénombrable  \tau_n = t_n - t_{n-1} des durées finies entre deux récurrences consécutives.

Théorème de Kac (1947)[modifier | modifier le code]

Il est possible de calculer la durée moyenne entre deux récurrences à l'état initial consécutives :


\langle \ \tau \ \rangle \ = \ \lim_{p \to \infty} \ \frac{1}{p} \ \sum_{n=1}^p \ \tau_n

On a le théorème suivant [Kac - 1947] :


\langle \ \tau \ \rangle \ = \ 2^N

De plus, on peut montrer que la dispersion des durées autour de leur valeur moyenne, caractérisée par l'écart-type  \sigma , est du même ordre de grandeur :


\sigma  \ = \ \sqrt{ \ \lim_{p \to \infty} \ \frac{1}{(p - 1)} \ \sum_{n=1}^p \ \left[ \, \tau_n \, - \, \langle \ \tau \ \rangle \, \right]^2 \ } \ \sim \ \langle \ \tau \ \rangle

Voir par exemple [Kac-1957].

Exemples de simulations[modifier | modifier le code]

Exemple de programme en langage R permettant de simuler l'évolution du nombre de boules dans l'urne A au cours de n tirages[modifier | modifier le code]

R est un logiciel de statistique et un langage de programmation très performant pour des utilisations en simulation et calculs probabilistes.

# Les boules sont numérotées de 1 à M, on fait n tirages et l'on suit
# l'évolution du nombre de boules dans l'urne A au fur et à mesure des n tirages.
ehrenf1 <- function(n = 10, M = 20) {
   UM <- 1:M ; urneA <- UM ; urneB <- NULL ; nbA <- NULL
   for (i in 1:n) {
      tir <- sample(UM, 1)
      if (length(which(urneA == tir)) == 0) {
         urneB <- urneB[- which(urneB == tir)] ; urneA <- c(urneA, tir)
      } else {
         urneA <- urneA[- which(urneA == tir)] ; urneB <- c(urneB, tir)
      }
      nbA[i] <- length(urneA)
   }
# Affichages des résultats et graphiques
   cat("Nombre de boules dans l'urne A =", nbA[n], "\n\n")
   plot(0:n, c(M,nbA), type  = "l", col = "blue", ylim = c(0, M),
         xlab = "Rang du tirage", ylab = "Nombre de boules",
         main = paste("Évolution du nombre de boules dans l'urne A\n",
             "Nombre de boules initiales dans A =", M,
             "; Nombre de tirages =", n))
      abline(h = c(M, (M / 2), 0), col = c("red", "black", "green"))
}

Résultats graphiques de la fonction R : ehrenf1()

UrneEhrenfRang.jpg


Exemple de programme en langage R permettant de simuler la distribution du nombre de boules dans l'urne A, au bout de n tirages[modifier | modifier le code]

# Algorithme ehrenfest2 : Distributions de X au bout de n tirages
ehrenf2 <- function(n = 10, M = 20, nbsim = 2000){
   UM <- 1:M ; urneA <- UM ; urneB <- NULL ; serienbA <- NULL
   for (k in 1:nbsim) {
      for (i in 1:n) {
         tir <- sample(UM, 1)
         if (length(which(urneA == tir)) == 0) {
            urneB <- urneB[- which(urneB == tir)] ; urneA <- c(urneA, tir)
         } else {
            urneA <- urneA[- which(urneA == tir)] ; urneB <- c(urneB, tir)
         }
      }
      nbA <- length(urneA)
      serienbA <- c(serienbA, nbA)
   }
   tablenbA <- table(serienbA)
# Affichages des résultats et graphiques
   barplot(tablenbA, xlab = "Nombre de boules dans l'urne A",
      ylab = "Effectif* simulé", main = paste("Distribution* simulée",
        "du nombre final de boules dans A\n", M,
        "boules initialement dans A,", n, "tirages"))
}

Résultats graphiques de la fonction R : ehrenf2()

Ehrenfest2.jpg


Suite des illustrations graphiques des simulations[modifier | modifier le code]

N = 4 boules ; 100 tirages. Les récurrences à l'état initial sont très fréquentes.

Les grandes fluctuations relatives autour de la moyenne deviennent de moins en moins fréquentes pour une durée donnée lorsque le nombre N de boules augmente.

N = 8 boules ; 100 tirages. Les récurrences à l'état initial semblent moins fréquentes sur la même durée.
N = 8 boules ; 1000 tirages. Les récurrences à l'état initial restent en fait fréquentes sur une plus longue durée.
N = 12 boules ; 1000 tirages.
N = 50 boules ; 1000 tirages.
N = 500 boules ; 1000 tirages.


Solution exacte[modifier | modifier le code]

Lien avec une marche aléatoire[modifier | modifier le code]

Le modèle des urnes d'Ehrenfest est formellement similaire à une marche aléatoire non isotrope sur le réseau \mathbb{Z} , dont la limite continue converge vers le mouvement brownien d'une particule élastiquement liée. En termes probabilistes on parle de convergence vers le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, processus stochastique défini par l'équation différentielle stochastique :

dx_t = \theta (\mu-x_t)\,dt + \sigma\, dW_t.\,


Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Paul Ehrenfest & Tatiana Ehrenfest ; Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-Theorem, Zeitschrift für Physik 8 (1907), 311-314.
  • Mark Kac ; Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf. Cet article est l'un des six contenus dans : Selected Papers on Noise & Stochastic Processes, Charles Proteus Steinmetz & Nelson Wax (eds.), Dover Publishing, Inc. (1954). Réédité dans la collection Phoenix (2003), ASIN 0486495353.
  • Mark Kac ; Probability and Related Topics in Physical Science, Lectures in Applied Mathematics Series 1a, American Mathematical Society (1957), ISBN 0-8218-0047-7.
  • Gérard Emch & Chuang Liu ; The logic of thermo-statistical physics, Springer-Verlag (2002), ISBN 3-540-41379-0.
  • Enrico Scalas, Edgar Martin & Guido Germano ; The Ehrenfest urn revisited: Playing the game on a realistic fluid model, Physical Review E 76 (2007), 011104. ArXiv: cond-mat/0512038.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Pour une revue des fondements conceptuels de la mécanique statistique à cette époque, on pourra lire l'article classique (paru initialement en allemand en 1912) : Paul & Tatiana Ehrenfest ; The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Dover, Inc. (1990), ISBN 0-486-66250-0. Niveau second cycle universitaire.
  2. D'après l'anglais « dog-flea model ».
  3. Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf.