Modèle de la toile d'araignée

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Le modèle de la toile d’araignée est une théorie qui cherche à expliquer les fluctuations des prix, en particulier dans le secteur agricole. Les cultivateurs peuvent semer du blé ou du maïs. Leur choix va dépendre du prix qu’ils espèrent au moment de la récolte. Supposons que les cultivateurs prennent le prix d’aujourd’hui comme estimation du prix anticipé (anticipations statiques: p_{t+1}^a = p_{t}). Si le prix du blé est élevé et celui du maïs bas, ils vont semer beaucoup de blé. Au moment de la récolte l’offre sera forte et le prix du blé sera bas (on suppose que les cultivateurs sont obligés de vendre toute leur récolte) et celui du maïs élevé. Pour la prochaine saison les cultivateurs vont alors semer peu de blé et à la prochaine récolte le prix sera élevé. On aura alors un cycle des prix avec des valeurs élevées qui alternent avec des valeurs basses.

Un autre exemple est celui du cycle du porc[1]: si le prix du porc est élevé on élève beaucoup de porcs et alors après quelques mois, au moment de la vente, le prix sera bas ( on est obligé de les vendre et alors l’offre est forte). Comme dirait Fernand Raynaud, « Ç'a eu payé » mais ça ne paie plus. On va alors élever moins de porcs et ainsi de suite.

Modèle[modifier | modifier le code]

Soit la fonction d’offre à la période t:

 q_{t}^s = c + f p_{t}^a

où q est la quantité, p_{t}^a le prix de vente anticipé et c, f des paramètres positifs.

Équilibre stable: les prix à court terme convergent vers la valeur d’équilibre
Équilibre instable: les prix à court terme s’éloignent de la valeur d’équilibre

Supposons que l’éleveur prend le prix d’aujourd’hui comme estimation du prix anticipé (anticipations statiques: p_t^a = p_{t-1}). La fonction d’offre devient:

 q_t^s = c + f p_{t-1}

Si la demande est la fonction linéaire suivante:

 q_t^d = a + b p_t

avec a > 0 et b < 0, on obtient le prix d’équilibre en égalisant ces deux fonctions. On obtient:

 p_t = \frac{c-a}{b} + \frac{f}{b} p_{t-1}

La solution de cette équation aux différences finies est:

 p_t = \left[ p_o - \frac{c-a}{b-f} \right] \left( \frac{f}{b}\right)^t + \frac{a-c}{f-b}

Comme  f / b est une valeur négative, on obtient des oscillations des prix autour du prix d’équilibre de longue période p^*=[(a-c)/(f-b)] car est négatif ou positif selon que l’exposant soit un nombre pair ou impair.

Dans le graphique avec équilibre stable, si la quantité produite est  q_1 le prix payé est  p_1 . Ce prix élevé conduit à une forte production à la période suivante  q_2 (voir la courbe d’offre S) mais alors le prix payé sera bas (pour que la demande, D, puisse absorber cette quantité) et ainsi de suite. On obtient un graphique qui ressemble à une toile d’araignée.

Si f est supérieur à la valeur absolue de b, l’équilibre est instable et les oscillations des prix deviennent de plus en plus fortes. En d’autres termes, si l’élasticité de l’offre est supérieure à l’élasticité de la demande, il n’y aurait pas de limites dans la fluctuation des prix. Samuelson[2] imagine qu’à partir d’un certain niveau de fluctuations les pentes des courbes d’offre et de demande changent et l’élasticité de l’offre devient inférieure à celle de la demande. Les prix oscilleraient ainsi entre deux limites.

Critiques[modifier | modifier le code]

Les anticipations statiques ne sont pas très réalistes. Le cultivateur devrait se rendre compte qu’il prévoit un prix élevé et il obtient un prix bas ou vice versa. Bien sûr, dans la réalité le problème n’est pas si simple car d’autres facteurs peuvent intervenir et contrecarrer cette tendance. Par exemple, la maladie de la vache folle a fait augmenter le prix de la viande de porc.

Pour que l’équilibre soit stable, l’élasticité de la demande doit être plus forte que celle de l’offre. Or, on constate en général le cas contraire. Par ailleurs, la longueur des cycles prévue par le modèle (deux fois la longueur de la période de production) est inférieure à la valeur observée[3].

On pourrait supposer que le prix anticipé soit le prix actuel avec un écart prévu:

p_{t+1}^a = p_{t} + \delta

\delta est positif si le prix actuel est considéré comme étant bas et négatif dans l’autre cas.

Si les anticipations sont adaptatives, la fonction d’offre devient[4]:

 q_t^s = c + f \left[\beta p_{t-1} + (1-\beta) p_{t-1}^a \right]

En égalisant l’offre et la demande, on obtient:

 p_t = \left[ (\frac{f}{b}-1) \beta + 1 \right] p_{t-1} + \frac{(c-a)\beta}{b}

dont la solution est:

 p_t = (p^* - p_o) \left[ (\frac{f}{b}-1)\beta + 1\right]^t + p^*

Lorsque  \beta est petit, l’équilibre est presque toujours stable.

Si les anticipations sont rationnelles[5], les erreurs de prévision ne sont plus biaisées et elles ne sont pas corrélées. Toutefois, le cycle disparaît. Il faut alors introduire des variables aléatoires (conditions climatiques, modifications de la demande, etc.) pour obtenir des cycles dans les prix.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. A. Hanau, « Die Prognose der Schweinepreise «, in: Vierteljahreshefte zur Konjunkturforschung, Sonderheft 7, Berlin, 1928
  2. Paul Samuelson, Economics, 6th Edition, London, 1964, p.398
  3. Peter Pashiagan, « Rational Expectations and the Cobweb Theory « , Journal of Political Economy, 1970, pp.338-352
  4. Marc Nerlove, « Adaptive Expectations and Cobweb Phenomena », Quartely Journal of Economics, 1958, pp. 227-40
  5. John Muth, « Rational Expectations and the Theory of Price Movements «, Econometrica, 1961, pp. 315-35

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • W. Nicholson, Microeconomic Theory, Hinsdale, 1978
  • M. Ezekiel, « The Cobweb Theorem «, Quarterly Journal of Economics, 1938, pp. 255–280
  • N. Kaldor, « A Classificatory Note on the Determination of Equilibrium «, Review of Economic Studies, 1934, pp. 122-36
  • M. Nerlove, « Adaptive Expectations and Cobweb Phenomena «, Quartely Journal of Economics, 1958, pp. 227-40.
  • J.F. Muth, « Rational Expectations and the Theory of Price Movements «, Econometrica, 1961, pp. 315-35
  • B.P. Pashigian, « Cobweb theorem «, The New Palgrave Dictionary of Economics, London, 2008
  • S. Rosen, K. Murphy, and J. Scheinkman, « Cattle cycles «, Journal of Political Economy, 1994, pp. 468–92