Modèle de l'hyperboloïde

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En géométrie, le modèle de l'hyperboloïde, également dénommé modèle de Minkowski ou modèle de Lorentz (d'après les noms de Hermann Minkowski et Hendrik Lorentz), est un modèle de géométrie hyperbolique dans un espace de Minkowski de dimension n. Ce modèle d'espace hyperbolique est étroitement lié au modèle de Klein ou au disque de Poincaré.

Forme quadratique de Minkowski[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Espace de Minkowski.

Si (x0, x1, …, xn) est un vecteur de dimension (n+1) dans l'espace Rn+1, la forme quadratique de Minkowski est définie par :

 Q(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^2 - x_1^2 - \ldots - x_n^2

Les vecteurs vRn+1 tel que Q(v) = 1 forment un hyperboloïde S de dimension n constitué de deux composantes connexes, ou feuilles : la feuille avant, ou future, S+, où x0>0 et la feuille arrière, ou passée, S, où x0<0. Les points du modèle de l'hyperboloïde de dimension n sont les points appartenant à la feuille S+.

La forme bilinéaire de Minkowski B (qui n'est pas un produit scalaire) est la polarisation de la forme quadratique de Minkowski Q :

B(u, v) = \dfrac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}

Explicitement,

B((x_0, x_1, \ldots, x_n), (y_0, y_1, \ldots, y_n)) = x_0y_0 - x_1 y_1 - \ldots - x_n y_n.

La distance hyperbolique entre deux points u et v de S+ est donnée par la formule :

d(u, v) = \cosh^{-1}(B(u, v))

Les droites hyperboliques sont représentées dans le modèle de l'hyperboloïde par des hyperboles, intersections de l'hyperboloïde avec des plans passant par l'origine.

Passage à d'autres modèles[modifier | modifier le code]

On passe du modèle de l'hyperboloïde à un modèle sur une boule unité de deux façons possibles :

  • Ou bien on projette l'hyperboloïde sur le plan x_0 = 1 à partir de l'origine du repère et on obtient le modèle de Klein. Dans ce dernier modèle, les droites hyperboliques sont représentées par des segments.
  • Ou bien on projette l'hyperboloïde sur le plan x_0 = 0 à partir du point (-1, 0, ..., 0) et on obtient le disque de Poincaré. Dans ce dernier modèle, les droites hyperboliques sont représentées par des arcs de cercles.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) D. V. Alekseevskij, E. B. Vinberg et A. S. Solodovnikov, Geometry of Spaces of Constant Curvature, Berlin, New York, Springer Verlag, coll. « Encyclopaedia of Mathematical Sciences »,‎ 1993 (ISBN 3-540-52000-7)
  • (en) James Anderson, Hyperbolic Geometry, Berlin, New York, Springer Verlag, coll. « Springer Undergraduate Mathematics Series »,‎ 2005 (ISBN 978-1-85233-934-0)
  • John G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York, Springer Verlag,‎ 1994 (ISBN 978-0-387-94348-0), chap. 3
  • (en) William F. Reynolds, « Hyperbolic geometry on a hyperboloid », American Mathematical Monthly,‎ 1993, 100:442–55
  • (en) Patrick J. Ryan, Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney, Cambridge University Press,‎ 1986 (ISBN 0-521-25654-2)
  • (en) V. Varićak, « On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 21,‎ 1912, p. 103–127
  • (en) Scott Walter, The Symbolic Universe: Geometry and Physics, Oxford University Press,‎ 1999, 91–127 p. (lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]