Modèle d'évaluation par arbitrage

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Le modèle d'évaluation par arbitrage (modèle MEA ou APT) est un modèle financier d'évaluation des actifs d'un portefeuille qui s'appuie sur l'observation des anomalies du MEDAF et considère les variables propres aux firmes susceptibles d'améliorer davantage le pouvoir prédictif du modèle d'évaluation.

Enjeux du modèle d'évaluation par arbitrage[modifier | modifier le code]

Pour lutter contre l'instabilité des bétas du MEDAF, le modèle MEA introduit des facteurs macroéconomiques et spécifiques.

Cependant selon le principe de la loi du prix unique, les portefeuilles ou les actifs présentant les mêmes risques doivent s'échanger au même prix. Ce modèle n'intègre aucun facteur relatif aux préférences des investisseurs.

Démarche d'utilisation[modifier | modifier le code]

La méthode d'évaluation par arbitrage (MEA) peut se décrire sous cette forme mathématique :

E(R_i)=R_{F}+b_{i1}(\bar R_{1}-R_{F})+b_{i2}(\bar R_{2}-R_{F})+...+ b_{im}(\bar R_{m}-R_{F})

Avec \bar R_m, rendement espéré du titre qui aurait une valeur b ( b_{im} ) de 1 pour ce facteur et 0 pour les autres.

Exemples d'écart utilisable : la croissance mensuelle de la production industrielle, la variation de l'inflation espérée, le taux d'intérêt.

Le modèle[modifier | modifier le code]

Le modèle d’évaluation par arbitrage (APT en anglais) suppose que le rendement des titres  R_i (i=1,2,\ldots,N) est donné par la relation linéaire:

 R_i = a_i + b_{i1} F_1 + b_{i2} F_2 + \dots + b_{im} F_m + e_i

 a_i est le rendement du titre i lorsque tous les indices ont une valeur nulle

 F_j (j=1,2,\ldots, m) est la valeur du facteur j qui influence le rendement du titre i

 b_{ij} est la sensibilité du rendement du titre i au facteur j

 e_i est une erreur aléatoire avec moyenne nulle

et N est le nombre de titres.

Prenons, pour simplifier, le cas de deux facteurs[1]. En enlevant du rendement  R_i sa valeur espérée [ E(R_i)] on peut écrire:

 R_i = E(R_i) + b_{i1} \left[ F_1 - E(F_1) \right] + b_{i2} \left[ F_2 - E(F_2) \right]

Le modèle APT suppose qu’il y a suffisamment de titres sur le marché de telle sorte qu’on puisse construire un portefeuille tel que:

 \sum_{i=1}^N \omega_i = 0
 \sum_{i=1}^N \omega_i b_{i1} = 0
 \sum_{i=1}^N \omega_i b_{i2} = 0
 \sum_{i=1}^N \omega_i e_i \approx 0

 \omega_i est la proportion du titre i dans le portefeuille. Ce portefeuille est appelé un portefeuille d’arbitrage[2].

La première condition implique que les achats de titres sont compensés par des ventes à découvert de telle sorte qu’aucun investissement n’est nécessaire. Par ailleurs, le vecteur  \left[w_i \right] est orthogonal au vecteur  \left[ 1 \right] .

Les deux autres conditions indiquent que le portefeuille d’arbitrage n’a pas de risque. D’autre part le vecteur  \left[ w_i \right] est orthogonal à  \left[ b_{i1} \right] et à  \left[ b_{i2} \right] .

L’arbitrage implique que le rendement espéré doit être nul:

 \sum_{i=1}^N \omega_i E(R_i) = 0

Les orthogonalités indiquées ci-dessus impliquent que les rendements espérés peuvent être exprimés par l’équation linéaire:

 E(R_i) = \lambda_o + \lambda_1 b_{i1} + \lambda_2 b_{i2}

Si  b_{i1}=b_{i2}= 0 le titre est sans risque et le rendement espéré est  \lambda_o = R_F .

Si  b_{i1} = 1 et  b_{i2} = 0 le rendement espéré est  \lambda_o + \lambda_1 = \bar R_1 avec  \bar R_1 le rendement espéré d’un titre ou d’un portefeuille exposé uniquement à un risque unitaire du facteur 1 ( F_1 ).

Si  b_{i1} = 0 et  b_{i2} = 1 le rendement espéré est  \lambda_o + \lambda_2 = \bar R_2 avec  \bar R_2 le rendement espéré d’un titre ou d’un portefeuille exposé uniquement à un risque unitaire du facteur 2 ( F_2 ).

On peut alors écrire:

 E(R_i) = R_F + b_{i1} (\bar R_1 - R_F) + b_{i2} (\bar R_2 - R_F)

Ce résultat peut être généralisé à un nombre arbitraire de facteurs.

Exemple[modifier | modifier le code]

Les rendements espérés et les caractéristiques de trois portefeuilles sont les suivants :

Portefeuille Rendement espéré Sensibilité au facteur 1 Sensibilité au facteur 2
A 6 % 0.6 0.2
B 5 % 0.2 0.3
C 9 % 1.0 0.5

Ces trois rendements espérés peuvent être exprimés en utilisant l’équation suivante[3]:

 E(R_i) = 2.75 + 3.75 b_{i1} + 5 b_{i2}

Soit maintenant le portefeuille D avec un rendement espéré de 8 % et les sensibilités de 0.6 au facteur 1 et 0.4 au facteur 2. Selon l’équation ci-dessus le rendement espéré devrait être de 7 %. On peut alors créer un portefeuille sans aucun investissement et obtenir un gain de 1 %. Il suffit de vendre à découvert un portefeuille composé par moitié du portefeuille B et l’autre moitié du portefeuille C. Le produit de la vente est utilisé pour acheter le portefeuille D. On aura ainsi un portefeuille d’arbitrage avec les proportions suivantes [0 , -0.5 , -0.5 , 1] et un rendement espéré de 1 %. À la fin de la période on fera l’opération inverse: vendre D et acheter B et C. Le modèle APT indique que ce profit va disparaître.

Relation entre CAPM et APT[modifier | modifier le code]

La droite de marché des titres du modèle d’évaluation des actifs financiers (CAPM) nous dit que:

 E(R_i) = R_F + \left[ E(R_M) - R_F) \right] \beta_i

avec  \beta_i = Cov(R_i , R_M) / \sigma_M^2

tandis que la relation est la suivante dans le modèle APT:

 E(R_i) = R_F + (\bar R_1 - R_F) b_{i1} + (\bar R_2 - R_F) b_{i2}

Dans le cas où il n’y a qu’un seul facteur et le rendement de ce facteur est celui du portefeuille de marché, les deux modèles coïncident. Dans les autres cas il faut étudier la covariance entre  R_i et  R_M [4]:

 Cov(R_i , R_M) = b_{i1} Cov(F_1 , R_M) + b_{i2} Cov(F_2 , R_M)

Par conséquent:

 \beta_i = \frac{b_{i1} Cov(F_1,R_M)}{\sigma_M^2} + \frac{b_{i2} Cov(F_2,R_M)}{\sigma_M^2}
 \beta_i = \beta_{F_1} b_{i1} + \beta_{F_2} b_{i2}

On peut alors écrire la droite de marché du modèle CAPM de la manière suivante:

 E(R_i) = R_F + \left[E(R_M) - R_F \right] \left[ \beta_{F_1} b_{i1} + \beta_{F_2} b_{i2} \right]
 E(R_i) = R_F + \lambda_1 b_{i1} + \lambda_2 b_{i2}

avec:

 \lambda_1 = \left[ E(R_M) - R_F \right] \beta_{F_1} \quad \lambda_2 = \left[E(R_M) - R_F \right] \beta_{F_2}

Le modèle CAPM permet d’expliquer les primes de risque  \lambda_1 et  \lambda_2 . Si le facteur i est corrélé positivement avec le rendement du marché alors  \lambda_i est positif car le rendement de marché est supérieur au rendement sans risque.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On peut trouver les facteurs qui influencent le rendement en utilisant l’analyse en composantes principales ou l’analyse factorielle.
  2. Il faudrait préciser qu’il s’agit d’arbitrage dans les anticipations.
  3. Les coefficients sont obtenus en résolvant le système suivant:
    A=\begin{pmatrix}
1 & 0.6 & 0.2 \\
1 & 0.2 & 0.3 \\
1 & 1.0 & 0.5 \\
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
 x_3 \\ 
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
 6 \\
 5 \\
 9 \\
\end{pmatrix}
  4. On a, en supposant que les erreurs ne sont pas corrélées avec le rendement du marché:
     Cov(R_i , R_M) = Cov(a_i + b_{i1} F_1 + b_{i2} F_2, R_M)
     Cov(R_i , R_M) = b_{i1} Cov(F_1 , R_M) + b_{i2} Cov(F_2 , R_M)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Burmeister, E. and Wall, K.D. (1986) The Arbitrage Pricing Theory and Macroeconomic Factor Measures, The Financial Review 21, 1-20;
  • Carhart, M.K. (1997) On Persistence in Mutual Fund Performance, Journal of Finance 52(1), 57-82;
  • Chen, N.F., and Ingersoll, E. (1983) Exact Pricing in Linear Factor Models with Finitely Many Assets: a Note, Journal of Finance 38(3), 985-988;
  • Elton, E.J., Gruber, M.J., and Mei, J. (1996) Return Generating Process and Determinants of Risk Premiums, Journal of Banking and Finance 20, 1251-1269;
  • Elton, E.J., Gruber, M.J., and Blake, C.R. (1995) Fundamental Economic Variables, Expected Returns, and Bond Fund Performance, Journal of Finance;
  • Fama, E.F. and French, K. (1993) Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds, Journal of Financial Economics 33(1), 3-56;
  • Roll, R. and Ross, S. (1980) An Empirical Investigation of the Arbitrage Pricing Theory, Journal of Finance 35(4), 1073-1103;
  • Ross, S. (1976) The arbitrage theory of capital pricing, Journal of Economic Theory 13, 341-360.


Articles connexes[modifier | modifier le code]