Modèle d'évaluation des actifs basé sur la consommation

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Le modèle d'évaluation des actifs basé sur la consommation (CAPM de consommation ou CCAPM) décrit les décisions simultanées de consommation et de choix de portefeuille en situation d'incertitude. Dans un cadre de choix intertemporel, les actifs financiers servent à lisser la consommation dans le temps.

La fonction d'utilité du consommateur représentatif à la période t est[1]:

  \sum_{j=o}^\infty \delta^j u(c_{t+j})

où u est l'utilité instantanée, c_{t+j} la consommation à la période  t+j et \delta = 1/(1+\rho) est le taux subjectif de préférence pour le temps[2] ( \rho est le taux d'escompte subjectif).

Deux périodes[modifier | modifier le code]

Le consommateur désire maximiser l'utilité intertemporelle espérée[3]:

  u(c_t) + \delta E_t \left[u(c_{t+1})\right]

E_t désigne l'espérance mathématique au temps t. Les contraintes budgétaires sont:

 a_t = c_t + \sum_{i=1}^n x_{it}
 a_{t+1} \equiv c_{t+1} = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt})x_{jt}

 x_{jt} est l'actif financier j à la période t, n le nombre d'actifs,  a_t la fortune du consommateur au début de la période t,  r_{jt} le taux de rendement de l'actif j à la période t.

En introduisant cette deuxième contrainte dans la fonction d'utilité on peut trouver le maximum en utilisant le lagrangien suivant:

 L = u(c_t) + \delta E_t \left[ u \bigg( \sum_{j=1}^n (1+r_{jt})x_{jt} \bigg) \right] - \lambda ( c_t + \sum_{j=1}^n x_{jt} - a_t )

 \lambda est le multiplicateur de Lagrange. Les conditions de premier ordre pour le maximum sont:

 \frac{\partial L}{\partial c_t}= u^{\prime}(c_t) - \lambda = 0
 \frac{\partial L}{\partial x_{it}}= \delta E_t \left[u^{\prime} (c_{t+1})(1+r_{it})\right] - \lambda = 0 \quad i=1,\ldots,n
 \frac{\partial L}{\partial \lambda}= c_t - \sum_{j=1}^n x_{jt} - a_t = 0

où   u^{\prime}(c_t)   est la dérivée de u(c_t).

En prenant les deux premières équations on obtient:

 u^{\prime}(c_t) = E_t \left[\bigg(\frac{1+r_{it}}{1+\rho}\bigg) u^{\prime}(c_{t+1}) \right] \quad i=1,\ldots,n

L'utilité marginale d'une unité de consommation à la période t doit être égale à l'utilité marginale espérée d'une unité épargnée donnant un rendement de  r_{it} et consommée à la période t+1.

Plusieurs périodes[modifier | modifier le code]

Le modèle devient, en introduisant un actif sans risque  F et un revenu exogène  y_t :

 max \quad u(c_t) + \sum_{j=1}^\infty \delta^j E_t[u(c_{t+j})]

sous la contrainte:

 \sum_{j=1}^n x_{j,t+1} + F_{t+1} = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt}) x_{jt} + (1+r_{ft})F_t + y_t - c_t

 r_{ft} est le taux d'intérêt sans risque. En utilisant l'équation de Bellman de la programmation dynamique[4] on peut écrire:

V(A_t) = \max_{x_{i,t+1},F_{t+1}} \left\{ u(A_t + y_t - \sum_{j=1}^n x_{j,t+1} - F_{t+1}) + \delta E_t \left[V(A_{t+1})\right] \right\}

où la variable d'état est:

 A_t = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt}) x_{jt} + (1+r_{ft}) F_t

Les conditions de premier ordre sont:

 \frac{\partial V}{\partial x_{i,t+1}} = - u^{\prime}(c_t) + \delta E_t \left[V_A(A_{t+1}) \frac{\partial A_{t+1}}{\partial x_{i,t+1}} \right] = 0 \quad i=1,\ldots,n
 \frac{\partial V}{\partial F_{t+1}}= -u^{\prime}(c_t) + \delta E_t \left[V_A(A_{t+1}) \frac{\partial A_{t+1}}{\partial F_{t+1}} \right] = 0

 V_A est la dérivée par rapport à  A_{t+1} .

En utilisant le théorème de l'enveloppe, on peut écrire ainsi les n premières conditions:

 V_A(A_t)= u^{\prime}(c_t) => E_t[V_A(A_{t+1})]=E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]

On obtient alors:

 u^{\prime}(c_t) = \delta E_t[u^{\prime}(c_{t+1})(1+r_{i,t+1})] \quad i=1,\ldots,n

Pour l'actif non risqué on a:

 u^{\prime}(c_t) = \delta (1+r_{f,t+1})E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]

La covariance de deux variables aléatoires x,y est:

 cov(x,y)= E(xy)-E(x) E(y)

Pour les actifs risqués on peut donc écrire:

 u^{\prime}(c_t) = \delta \big\{ E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]E_t(1+r_{i,t+1}) + cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})] \big\}

Ce résultat montre que le choix du consommateur dépend du rendement espéré et de la covariance avec l'utilité marginale de la consommation.

En soustrayant du résultat de l'actif risqué celui de l'actif sans risque on obtient:

 \delta \big\{E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]E_t(1+r_{i,t+1})+cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]\big\}-\delta (1+r_{f,t+1})E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]=0

d'où l'on tire:

 E_t(r_{i,t+1})-r_{f,t+1} = - \frac{cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]}{E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]}

Le rendement supplémentaire d'un actif risqué ayant une corrélation positive avec la consommation doit être élevé[5] car il n'offre pas une bonne protection en cas de nécessité. En effet, pour lisser la consommation il faut disposer d'actifs financiers ayant une corrélation négative avec les dépenses du consommateur.

Utilité instantanée avec aversion relative au risque constante[modifier | modifier le code]

On peut écrire le résultat de l'actif risqué de la manière suivante:

 1 = E_t[\frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{u^{\prime}(c_t) (1+\rho)}]E_t(1+r_{i,t+1}) + cov_t[\frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{ 
u^{\prime}(c_t)(1+\rho)} \, , \, (1+r_{i,t+1})]

Soit S_{t+1} le facteur d'escompte stochastique:

 S_{t+1} = \frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{u^{\prime}(c_t)(1+\rho)}

On a alors:

 1-cov_t[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]=E_t(S_{t+1})E_t(1+r_{i,t+1})
 E_t(1+r_{i,t+1})= [E_t(S_{t+1})]^{-1}\{1-cov_t[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]\}

Si la fonction d'utilité instantanée est:

 u(c_t) = \frac{c_t^{1-\sigma}} {1-\sigma}

 \sigma est l'indice d'aversion relative au risque (et  1/\sigma l'élasticité de substitution intertemporelle) on obtient:

 S_{t+1} = \frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma}

avec  g_{t+1}=c_{t+1}/c_t le taux de croissance brut de la consommation. L'équation ci-dessus devient alors:

 E_t(1+r_{i,t+1})= (1+\rho)[E_t(g_{t+1}^{-\sigma})]^{-1}\{1- cov_t[\frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma},(1+r_{i,t+1})]\}

Mankiw et Shapiro[6] utilisent l'approximation suivante de la covariance:

 cov_t[\frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma},(1+r_{i,t+1})] \approx \frac{-\sigma}{(1+\rho)}cov[g_{t+1},(1+r_{1,t+1})]

Ils considèrent l'équation suivante, normalisée afin d'obtenir une valeur unitaire pour le beta du marché (dont le rendement est r_{M,t+1} de ce CAPM de consommation ( \beta_{ci} ):

 r_i = a_o + a_2 \beta_{ci}

avec:

r_i = rendement de l'actif risqué i

 a_o = (1+\rho)[E_t(g_{t+1}^{-\sigma}]^{-1}-1

 a_2 = \frac{\sigma cov[(1+r_{M,t+1}),g_{t+1}]}{(1+\rho) [E_t(g_{t+1})^{-\sigma}]}

 \beta_{ci} = \frac{cov[(1+r_{i,t+1}),g_{t+1}]}{cov[(1+r_{M,t+1},g_{t+1}]}

Comme dans le modèle CAPM, le rendement de l'actif risqué i dépend du risque systématique mais celui-ci est donné par la covariance avec le taux de croissance brut de la consommation.

Vérifications empiriques[modifier | modifier le code]

En utilisant les données trimestrielles de 464 entreprises entre 1959 et 1982, Mankiw et Shapiro estiment l'équation suivante:

 r_i = a_o + a_1 \beta_{Mi} + a_2 \beta_{ci}

\beta_{Mi} est appelé le coefficient beta de la consommation.

Le modèle CAPM[7] dit que  a_o= r_f \, ; \, a_1 = E(r_{Mi})-r_f \, ; \, a_2 = 0

tandis que pour le modèle CCAPM on a  a_1 = 0 \, ; \, a_2 = E(r_M) - r_f .

Les estimations obtenues indiquent que le modèle CAPM donne de meilleurs résultats que le modèle CCAPM.

D'autres auteurs ont obtenu des résultats négatifs, entre autres Hansen et Singleton[8].

Par contre, Lettau et Ludvigson[9] trouvent qu'une version conditionnelle du modèle CCAPM qui tient compte du rapport consommation / fortune donne des résultants satisfaisants.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. D. T. Breeden, "An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities", Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296
  2. Le facteur d'escompte psychologique des utilités futures
  3. Cette utilité sous forme additive peut être remplacée par une forme plus générale (voir Y.Z. Bergman, " Time Preference and Capital Asset Pricing Models ", Journal of Financial Economics, 1985, p. 145-159)
  4. K.J. Arrow and M. Kurz, Public Investment, The Rate of Return, And Optimal Fiscal Policy, London, 1970
  5. L'utilité marginale de la consommation est une fonction décroissante.
  6. N.G. Mankiw and M.D. Shapiro, "Risk and return: consumption beta versus market beta", Review of Economics and Statistics, 1986, p. 453
  7. L'équation du rendement de l'actif risqué i est:  r_i = a_o + a_1 \beta_{Mi}
  8. L.P. Hansen and K.J. Singleton,"Stochastic Consumption, Risk Aversion, and the Temporal Behavior of Asset Returns", Journal of Political Economy, 1983, p. 249-265
  9. M. Lettau and S. Ludvigson, "Resurrecting the (C)CAPM: A Cross-Sectionl Test When Risk Premia Are Time-Varying", Journal of Political Economy, 2001, p. 1238-1287

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • D. T. Breeden, "An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities", Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296
  • D. Breeden, M.R. Gibbons, R.H. Litzenberger, " Empirical tests of the consumption-oriented CAPM ", Journal of Finance, 1989, p. 231-262
  • J.H. Cochrane, "A cross-sectional test of an investment-based pricing Model", Journal of Political Economy, 1996, p. 572-621
  • D. Duffie and William Zame, "The Consumption-based Capital Asset Pricing Model", Econometrica, 1989, p. 1279-1297
  • R. Lucas, "Asset Prices in an Exchange Economy ", Econometrica, 1978, p. 1429-1445
  • N.G. Mankiw and M.D. Shapiro, "Risk and return: consumption beta versus market beta", Review of Economics and Statistics, 1986, p. 452-459
  • R. Mehra and E. Prescott, "The equity premium: a puzzle ", Journal of Monetary Economics, 1985, p. 145-161
  • Economic Sciences Prize Committee of the Royal Swedish Academy of Sciences, UNDERSTANDING ASSET PRICES, Stockholm, 2013[1]