Ensemble négligeable

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec Fonction négligeable en analyse réelle

En théorie de la mesure, un ensemble négligeable ou un ensemble de mesure nulle est une partie d'un ensemble mesuré dont la définition dépend de la mesure que l'on utilise ou plutôt de sa classe d'équivalence. À un niveau élémentaire, il est possible d'aborder la notion d'ensemble négligeable pour un certain nombre d'espaces (dont la droite réelle) sans avoir à introduire une mesure. Historiquement, la notion d'ensemble négligeable est antérieure.

Définition — Soit (X,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré. Une partie N de X est dite négligeable lorsqu'il existe un Y\in\mathcal{A} contenant N et de mesure nulle.

L'ensemble des parties négligeables d'un ensemble mesuré (X,\mathcal{A},\mu) a les propriétés suivantes :

  • tout sous-ensemble mesurable d'une partie négligeable a une mesure nulle, conséquence de la monotonie des mesures ;
  • tout sous-ensemble d'une partie négligeable est négligeable ;
  • toute union dénombrable d'ensembles (mesurables) de mesure nulle est mesurable et de mesure nulle, conséquence de la sous-additivité des mesures ;
  • toute union dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.

A priori, la notion de partie négligeable parait plus générale que celle d'ensemble de mesure nulle, car elle autorise des ensembles non mesurables. Toutefois, il est possible de compléter la tribu \mathcal A en une tribu \overline{\mathcal {A}}_\mu incluant les ensembles négligeables non mesurables, et de prolonger la mesure \mu en une mesure \overline\mu sur (X, \overline{\mathcal {A}}_\mu). Il est à remarquer que cette complétion dépend de la définition d'ensembles négligeables. On parle alors de mesure complète ; pour une mesure complète, tout ensemble négligeable est mesurable, donc de mesure nulle.

Éléments historiques[modifier | modifier le code]

Ensembles négligeables pour la mesure de Lebesgue[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

Dans les espaces \R^n, la mesure généralement utilisée est la mesure de Lebesgue, unique mesure à proportionnalité près invariante par les isométries. Pour cette mesure, tout singleton a une mesure nulle. Donc, en utilisant la deuxième propriété énoncée ci-dessus, on voit sans difficulté que tout sous-ensemble dénombrable de \R^n est négligeable.

Ainsi, si on note \lambda la mesure de Lebesgue sur \R alors \lambda (\mathbb{Q})=0.

Nature des ensembles de mesure de Lebesgue nulle[modifier | modifier le code]

Il existe dans ℝ des parties boréliennes — et même compactes — de mesure de Lebesgue nulle qui sont non dénombrables car équipotentes à ℝ. L'exemple le plus classique est l'ensemble de Cantor. D'autres sont les ensembles de Besicovitch.

Un ensemble négligeable de ℝn n'est même pas nécessairement borélien (voir l'article Complétion d'une mesure), y compris pour n = 1 (il suffit de choisir une partie non borélienne de l'ensemble de Cantor : il en existe, par des arguments de cardinalité).

En théorie des ensembles[modifier | modifier le code]

Si Y est le sous-ensemble des points x d'un ensemble infini X ne vérifiant pas un prédicat P(x), alors on dit que P est vérifiée pour presque tous les éléments de X si le cardinal de Y est strictement inférieur au cardinal de X.

Le concept de « presque partout »[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Le concept d'ensemble négligeable permet notamment de définir le concept de « presque partout ». En effet, si \mu est une mesure sur un espace mesurable (X,\mathcal B), une proposition P(x) dépendant d'une variable x \in X est dite vraie \mu(\mathrm dx)-presque partout s'il existe un ensemble mesurable A appartenant à \mathcal B tel que :

  1. \{ x  \in X : \mathrm{non}( P(x) )\} \subset A
  2.  \mu(A) = 0

Une propriété P(x) est dite vraie presque partout si l'ensemble des points où elle est fausse est négligeable. Ainsi, une fonction f sera égale à une fonction g \mu-presque partout si l'ensemble \mu(\{x  \in X : f(x)\ne g(x)\})=0. En analyse fonctionnelle, lorsque le cadre de travail est bien défini, on sous-entendra la mesure et on dira simplement f=g presque partout, ce qui sera encore noté de manière abrégée f=g p.p. . Par exemple, Lebesgue à démontré que : l'ensemble des fonctions numériques d'une variable réelle bornées sur un segment réel non trivial qui sont Riemann-intégrables sur ce segment, est égal à l'ensemble de celles qui sont p.p. continues sur ce segment.

Pour la mesure de Lebesgue sur \R^d, un ensemble dénombrable est de mesure nulle. C'est ce résultat qui permet d'affirmer que la fonction indicatrice des rationnels qui à un réel lui associe 1 si le réel est rationnel, 0 s'il est irrationnel, est nulle presque partout.

L'ensemble triadique de Cantor est un exemple de sous-ensemble indénombrable de [0,1] mais de mesure de Lebesgue nulle. Presque tous les réels entre 0 et 1 sont hors de l'ensemble de Cantor.

Exemple  :

Si f:(X,\mathcal B,\mu) \rightarrow \R_{+} est une fonction d'un espace mesuré (X,\mathcal B,\mu) à valeurs positives telle que f est intégrable au sens de Lebesgue, alors :

\int_{X} f\,\mathrm d\mu =0 si et seulement si f = 0 \mu-presque partout.

« Presque sûrement »[modifier | modifier le code]

En probabilités, on préfère en général parler d'une propriété presque sûrement vraie, au lieu d'utiliser l'expression « vraie presque partout ». Une propriété est presque sûrement vraie lorsqu'elle est vérifiée dans un ensemble dont la probabilité est égale à 1. La probabilité étant une mesure et l'espace mesurable ayant une probabilité de 1, c'est bien un cas particulier de la situation précédente. De même, une propriété est dite presque sûrement fausse lorsqu'elle est vérifiée dans un ensemble dont la probabilité est égale à 0.

Dans l'espace probabilisé \left(\Omega, \mathcal B, \mathbb P\right) (ensemble \Omega, muni d'une tribu \mathcal B (ou σ-algèbre ) sur \Omega et d'une mesure \mathbb P sur cette tribu, telle que \mathbb P(\Omega) = 1), la propriété R est vraie presque sûrement s'il existe un ensemble mesurable A appartenant à \mathcal B tel que :

  1. \{ x  \in X : \mathrm{non}( R(x) )\} \subset A
  2.  \mathbb P(A) = 0

Ce qui est équivalent à dire que \mathbb P(\Omega\backslash A)=1, par propriété des probabilités.

De même, un événement (ensemble mesurable) B\in\mathcal B\ vérifiant \mathbb P(B)=1\ est dit presque sûr, ou presque certain, ou encore quasi certain. L'événement contraire d'un tel événement ayant une probabilité nulle, on le qualifie de presque impossible ou de quasi impossible.

En conséquence de la sous-additivité des mesures,

Propriété — Toute intersection finie ou dénombrable d'ensembles presque sûrs est elle-même presque sûre.

La convergence presque sûre, qui est un type de convergence de variables aléatoires, fournit un exemple de propriété vérifiée presque sûrement :

(X_n)_{n\in\mathbb{N}} converge presque sûrement vers X si et seulement si

\mathbb P(\{\omega/\lim_{n\rightarrow\infty} X_n(\omega)=X(\omega)\})=1.

La convergence presque sûre implique d'autres propriétés de convergences usuelles en théorie des probabilités (convergence en probabilité et convergence en loi) et apparaît en particulier dans l'énoncé de la loi forte des grands nombres.

L'expression presque tout intervient couramment dans différents domaines des mathématiques. Elle peut avoir un sens probabiliste, topologique ou ensembliste ; en général, le contexte précise ce sens.

En topologie[modifier | modifier le code]

Dans un espace de Baire, presque tous les points vérifient une propriété lorsque l'ensemble des points la vérifiant contient une intersection dénombrable d'ouverts denses. Il résulte de la définition d'un tel espace que cette intersection est dense.

Cette notion n'a aucun rapport avec celle de « presque tous » au sens de la théorie de la mesure.

  • Presque tous les réels sont des irrationnels.
  • Presque toutes les fonctions continues [0,1]\rightarrow\R sont non dérivables.
  • Presque tous les points de \R sont des valeurs régulières d'une fonction différentiable f:M\rightarrow \RM est un segment de \R ou n'importe quelle variété compacte.