Mesure image

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En théorie de la mesure, la mesure image est une mesure définie sur un espace mesurable et transférée sur un autre espace mesurable via une fonction mesurable.

Définition[modifier | modifier le code]

On se donne deux espaces mesurables \scriptstyle (X_1,\Sigma_1) et \scriptstyle (X_2,\Sigma_2), une application mesurable \scriptstyle f\colon X_1\rightarrow X_2 et une mesure \scriptstyle\mu\colon \Sigma_1 \rightarrow [0,+\infty]. La mesure image de μ par f est une mesure sur \scriptstyle \Sigma_2 notée \scriptstyle f_\ast\mu et définie par :

(f_\ast\mu) (B) = \mu \left(f^{-1}(B)\right) \text{ pour tout } B \in \Sigma_2.

Cette définition s'applique également aux mesures complexes signées.

Formule de changement de variables[modifier | modifier le code]

La formule de changement de variables est l'une des principales propriétés[1] : Une fonction g sur X2 est intégrable par rapport à la mesure image f*μ si et seulement si la fonction composée g∘ f est intégrable par rapport à la mesure μ. Dans ce cas les deux intégrales coïncident :

\int_{X_2}g~\mathrm d(f_\ast \mu) = \int_{X_1} g \circ f~\mathrm d\mu.

Exemples et applications[modifier | modifier le code]

  • La mesure de Lebesgue naturelle sur le cercle unité S1, vu ici comme sous ensemble du plan complexe ℂ, n'est pas définie comme la mesure image de la mesure de Lebesgue λ sur les réels ℝ, mais de sa restriction, que nous noterons également λ, à l'intervalle [0, 2π[. Soit f : [0, 2π[ → S1 la bijection naturelle définie par f(t) = eit. La mesure de Lebesgue sur S1 est alors la mesure image f*λ. Cette mesure f*λ peut également être appelée mesure de longueur d'arc ou mesure d'angle, puisque la f*λ-mesure de l'arc S1 est précisément la longueur de l'arc.
  • L'exemple précédent s'étend pour définir la mesure de Lebesgue sur le tore n-dimensionnel Tn. La mesure de Lebesgue sur Tn est, à renormalisation près, la mesure de Haar sur le groupe de Lie compact connexe Tn.
  • Une variable aléatoire est une application mesurable entre un espace probabilisé \scriptstyle(\Omega, \mathcal A, \mathbb P) et ℝ. La mesure de probabilité d'une variable aléatoire est la mesure image de ℙ par la variable aléatoire X :
    \mathbb P = X_\ast \mathbb P = \mathbb P(X^{-1}(\cdot)).
  • Considérons la fonction mesurable f : X → X et la composition de f par elle-même n fois :
    f^{(n)} = \underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \text{ fois}} \colon X \to X.
    Cette fonction itérative forme un système dynamique. Il est souvent utile de trouver une mesure μ sur X que l'application f laisse inchangée, ou mesure invariante (en), i.e. qui vérifie : f*μ = μ.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) V. I. Bogachev, Measure Theory, Springer,‎ 2007, sections 3.6-3.7