Mesure de Jordan

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En mathématiques, la mesure de Peano-Jordan est une extension de la notion de taille (longueur, aire, volume), aisément définie pour des domaines simples tels que le rectangle ou le parallélépipède, à des formes plus compliquées. La mesure de Jordan s'avère trop restrictive pour certains ensembles qu'on pourrait souhaiter être mesurables. Pour cette raison, il est maintenant plus fréquent de travailler avec la mesure de Lebesgue, qui est une extension de la mesure de Jordan à une plus grande classe d'ensembles. Historiquement, la mesure de Jordan, introduite vers la fin du XIXe siècle, est antérieure. La mesure de Peano-Jordan tire son nom de ses concepteurs, le mathématicien français Camille Jordan, et le mathématicien italien Giuseppe Peano[1].

La mesure de Jordan d'ensembles « simples »[modifier | modifier le code]

Un ensemble simple est, par définition la réunion de rectangles (pouvant se chevaucher).
L'ensemble simple ci-dessus est recomposé en une union de rectangles sans chevauchements.

Considérons l'espace euclidien Rn. On commence par considérer les produits d'intervalles bornés :

C=[a_1, b_1[\times [a_2, b_2[\times \cdots \times [a_n, b_n[

qui sont fermés à gauche et ouverts à droite. Un tel ensemble sera appelé un rectangle à n dimensions, ou tout simplement un rectangle. On définit la mesure de Jordan d'un tel rectangle comme le produit de la longueur des intervalles :

m(C)=(b_1-a_1)(b_2-a_2) \cdots(b_n-a_n).

On considère ensuite des ensembles simples, parfois appelé polyrectangles, qui sont des unions de familles finies de rectangles :

S=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_k

pour tout k ≥ 1. On ne peut pas définir la mesure de Jordan de S comme étant simplement la somme des mesures des rectangles individuels, car une telle représentation de S est loin d'être unique, et il pourrait y avoir des chevauchements importants entre les rectangles. Heureusement, tout ensemble simple S peut être recomposé comme l'union d'une autre famille finie de rectangles qui cette fois sont mutuellement disjoints. Puis on définit la mesure Jordan m(S) comme la somme des mesures des rectangles disjoints. On peut montrer que cette définition de la mesure de Jordan de S est indépendante de la représentation de S comme une union finie de rectangles disjoints.

Extension aux ensembles plus complexes[modifier | modifier le code]

Un ensemble (représenté sur la figure par le domaine intérieur à la courbe bleue) est mesurable si et seulement s'il peut être approximé à la fois par des ensembles simples intérieurs et extérieurs (leurs frontières figurent respectivement en vert foncé et en rose foncé).

Soit B un ensemble borné. On définit sa mesure intérieure de Jordan comme :

m_*(B)=\sup_{S\subset B} m (S)

et sa mesure extérieure comme :

m^*(B)=\inf_{S\supset B} m (S)

où la borne supérieure (respectivement la borne supérieure) est relative aux mesures des ensembles simples S inclus dans B (respectivement dont B est une partie). L'ensemble B est dit mesurable (pour la mesure de Jordan) si sa mesure intérieure est égale à sa mesure extérieure. La valeur commune des deux mesures est alors simplement appelée la mesure de Jordan de B .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout rectangle (ouvert ou fermé), ainsi que toute boule et tout simplexe est mesurable pour la mesure de Jordan.

Pour toute fonction positive bornée f sur [a, b], l'ensemble des points entre l'axe des abscisses et le graphe de f est mesurable si et seulement si f est Riemann-intégrable[2].

La mesurabilité est préservée par union et intersection finies et par différence ensembliste.

Mais un ensemble compact n'est pas nécessairement mesurable. Par exemple, l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ne l'est pas : sa mesure intérieure est nulle (puisque son complémentaire est dense) alors que sa mesure extérieure est supérieure ou égale (en fait : égale) à sa mesure de Lebesgue, qui est non nulle.

Un ouvert borné non plus. Par exemple, le complémentaire dans [0, 1] de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ne l'est pas.

Une partie bornée B est Jordan-mesurable si et seulement si sa fonction indicatrice est Riemann-intégrable[3]. En effet, les mesures intérieure et extérieure de B sont les mesures de Lebesgue de son intérieur et de son adhérence[4], donc B est Jordan-mesurable si et seulement si sa frontière est Lebesgue-négligeable (ou — ce qui revient au même puisqu'elle est compacte — Jordan-négligeable).

Cette dernière propriété limite grandement la famille des ensembles Jordan-mesurables. Par exemple, l'ensemble des nombres rationnels contenus dans l'intervalle [0, 1] n'est pas mesurable. Intuitivement cependant, l'ensemble des nombres rationnels est un « petit » ensemble, qui est dénombrable, dont on souhaiterait que la « taille » soit zéro. C'est vrai, mais seulement si l'on remplace la mesure de Jordan par la mesure de Lebesgue. La mesure de Lebesgue d'un ensemble est la même que sa mesure de Jordan lorsque cette dernière existe. Toutefois, la mesure de Lebesgue est définie pour une classe beaucoup plus large d'ensembles, comme l'ensemble des nombres rationnels dans un intervalle, et aussi pour des ensembles qui peuvent être non bornés ou pour des fractales. En outre, la mesure de Lebesgue, contrairement à la mesure de Jordan, est une vraie mesure, vérifiant la propriété d'additivité dénombrable, alors qu'une union dénombrable d'ensembles Jordan-mesurables disjoints peut ne même pas être Jordan-mesurable.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (it) G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Fratelli Bocca, Torino, 1887.
  2. (en) John Derwent, « Jordan Measure », MathWorld.
  3. (en) « Volume », sur PlanetMath.
  4. (en) Orrin Frink (en), Jr., « Jordan Measure and Riemann Integration », Annals of Mathematics, 2e série, vol. 34, no 3,‎ juillet 1933, p. 518-526 (lien JSTOR?).

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) A. P. Terekhin, « Jordan measure », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)