Matrice hamiltonienne

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En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :

K=
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}

et In étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, A est hamiltonienne si et seulement si :

KA - A^T K^T = KA + A^T K = 0.\,

Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n2 + n.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Soit M une matrice par bloc 2n×2n donnée par :
    M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}
    A, B, C, D sont des matrices n×n. Alors M est une matrice hamiltonienne à condition que B, C soient symétriques et que  A + D^T = 0.
  • La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne.
  • La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle.
  • Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien.
  • Les valeurs propres de M sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire.

L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie {\mathfrak{Sp}}(2n)[1].

Opérateurs hamiltoniens[modifier | modifier le code]

Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique \Omega. Une application linéaire A:\; V \mapsto V est appelée opérateur hamiltonien par rapport à \Omega si l'application x, y \mapsto \Omega(A(x), y) est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :

\Omega(A(x), y)=-\Omega(x, A(y))

Soit une base  e_1, ... e_{2n} de V telle que \Omega soit écrite \sum_i e_i \wedge e_{n+i}. un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à \Omega si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne[2]. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Alex J. Dragt, The Symplectic Group and Classical Mechanics'' Annals of the New York Academy of Sciences (2005) 1045 (1), 291-307.
  2. (en) William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, Volume 396, 1er février 2005, Pages 385-390