Matrice diagonale

En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.

Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale.

Toute matrice diagonale est aussi une matrice symétrique, une matrice normale et une matrice triangulaire. La matrice identité I_n est diagonale.

Définition

Une matrice carrée $D=(d_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est dite diagonale si :

$\forall (i,j)\in [\![1,n]\!]^{2},\ i\neq j\ \Rightarrow \ d_{i,j}=0.$

Exemples

Les matrices suivantes sont diagonales :

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&i&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-i\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}.$

En revanche les matrices suivantes ne sont pas diagonales :

${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&i&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Notation

Comme une matrice diagonale est entièrement déterminée par la liste de ses éléments diagonaux, la notation suivante plus concise est souvent adoptée :

$\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&a_{n}\end{pmatrix}}.$

Utilisations

Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation.

Une matrice presque diagonale (on la dit alors matrice à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin.

Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres qui sont les matrices des coordonnées de n vecteurs orthonormés et ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres associées.

Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive bordée par zéros.

Propriétés

Multiplication

Les matrices diagonales forment une sous-algèbre commutative de ${\mathcal {M}}_{n}(K)$.

En d'autres termes, pour toutes matrices diagonales $D=\mathrm {diag((d_{i})_{1\leq i\leq n})}$ et $E=\mathrm {diag((e_{i})_{1\leq i\leq n})}$ on a :

• Pour tout $(\lambda ,\mu )\in K^{2}$, $\lambda D+\mu E=F$ avec $F=\mathrm {diag} ((\lambda d_{i}+\mu e_{i})_{1\leq i\leq n})$
• $DE=ED=G$ avec $G=\mathrm {diag} ((d_{i}e_{i})_{1\leq i\leq n})$

Une conséquence de cela est qu'élever une matrice diagonale $D$ à une certaine puissance revient à élever les coefficients de la diagonale de $D$ à cette puissance :

$D^{k}=\mathrm {diag} (d_{i,j})^{k}=\mathrm {diag} (d_{i,j}^{k})$

Déterminant

Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit de ses éléments diagonaux :

$\det(\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}))={\begin{vmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&a_{n}\end{vmatrix}}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}$

Inversibilité

Une matrice diagonale est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, c'est-à-dire si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, l'inverse d'une matrice diagonale est une matrice diagonale où les coefficients diagonaux sont les inverses des coefficients diagonaux de la matrice de départ.

En effet, si :

$A=\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},...,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&a_{n}\end{pmatrix}}$

alors

$A^{-1}=\mathrm {diag} ({\frac {1}{a_{1}}},{\frac {1}{a_{2}}},...,{\frac {1}{a_{n}}})={\begin{pmatrix}1/a_{1}&0&\ldots &0\\0&1/a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&1/a_{n}\end{pmatrix}}$

du fait que

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A={\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&1\end{pmatrix}}=I_{n}$

soit la matrice identité.

Autres

Une matrice diagonale étant symétrique, est invariante par transposition.

Matrice scalaire

Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux.

Si K est un corps commutatif, le centre du groupe linéaire GL(n, K) est formé des matrices scalaires non nulles à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K.