Matrice d'une application linéaire

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En algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient

  • E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif[1] K, de dimensions respectives n et m,
  • B une base de E, C une base de F et
  • φ une application de E dans F.

L'application φ est linéaire si et seulement s'il existe une matrice de Mm,n(K) telle que pour tout vecteur x de E, la colonne des coordonnées dans C de φ(x) soit le produit à gauche par cette matrice de la colonne de coordonnées de x dans B. Une telle matrice est alors unique. Elle est appelée la matrice de φ dans le couple de bases (B,C) et notée matB,C(φ), ou parfois MCB(φ).

Plus formellement, matB,C(φ) est caractérisée par :

\forall x\in E,\quad mat_C(\varphi(x))=mat_{B,C}(\varphi)\times mat_B(x).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si B = (e1, … , en), les n colonnes de matB,C(φ) sont les coordonnées dans C des n vecteurs φ(e1), … , φ(en).
  • L'application de L(E, F) dans Mm,n(K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
  • Si ψ est une deuxième application linéaire, de F dans un troisième espace vectoriel G de base D, alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Plus précisément :
    mat_{B,D}(\psi\circ\varphi)=mat_{C,D}(\psi)\times mat_{B,C}(\varphi).
    En effet, pour tout vecteur x de E, en notant y = φ(x), z = ψ(y) et X, Y, Z les coordonnées respectives de ces trois vecteurs dans les bases B, C, D, on a Z = mat(C,D)ψ.Y = mat(C,D)ψ.mat(B,C)φ.X.
  • Pour toute matrice M de Mm,n(K), l'application XMX du K-espace vectoriel Mn,1(K) dans le K-espace vectoriel Mm,1(K) est linéaire[2] et sa matrice dans les bases canoniques est M. En conséquence, il arrive souvent que l'on identifie la matrice M avec cette application linéaire. On parlera alors de noyau de la matrice, d'espaces propres de la matrice, d'image de la matrice, etc.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cette définition se généralise en prenant pour K un anneau (non nécessairement commutatif) et pour E et F des K-modules à droite libres de type fini.
  2. Dans le cas des modules sur un anneau non commutatif, cette linéarité n'existe que parce qu'on a considéré des modules à droite.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Matrice de passage