Matrice bistochastique

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En mathématiques, une matrice bistochastique ou doublement stochastique est une matrice carrée à coefficients réels positifs dont les sommes des éléments de chaque ligne et chaque colonne sont égales à un.

Ces matrices sont utilisées en théorie des probabilités et en combinatoire.

Définition[modifier | modifier le code]

Formellement, pour une matrice réelle à coefficients positifs A=(a_{ij}) est bistochastique si et seulement si l'égalité suivante est vérifiée :

\sum_i a_{ij}=\sum_j a_{ij}=1.

Les matrices bistochastiques sont aussi les matrices stochastiques ayant une transposée stochastique[1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

L'ensemble des matrices bistochastique est un polytope convexe dans l'ensemble des matrices à coefficients réels, appelé polytope de Birkhoff. Le théorème de Birkhoff-von Neumann[2] établit que les points extrémaux de ce polytope sont les matrices de permutations.

Applications et utilisations[modifier | modifier le code]

Les matrices bistochastiques apparaissent notamment dans l'inégalité de Muirhead, une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique[3] et dans les chaînes de Markov ayant une certaine symétrie.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Rombaldi 2012
  2. Les articles initiaux sont : Birkhoff 1946 et von Neumann 1953, cités par exemple dans Budish et al. 2010. Une preuve peut-être trouvé dans Rombaldi 2012.
  3. Voir par exemple Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood et George Pólya, Inequalities, Londres, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Mathematical Library »,‎ 1952, 2e éd. (ISBN 978-0521358804).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean-Etienne Rombaldi, Matrices bistochastiques,‎ 2012 (lire en ligne)
  • Garrett Birkhoff, « Three observations on linear algebra », Univ. Nac. Tucumàn. Revista A, vol. 5,‎ 1946, p. 147-151
  • John von Neumann, « A certain zero-sum two-person game equivalent to the optimal assignment problem », Contributions to the Theory of Games, vol. 2,‎ 1953
  • Eric Budish, Yeon-Koo Che, Fuhito Kojima et Paul Milgrom, Implementing random assignments: A generalization of the birkhoff-von neumann theorem,‎ 2010 (lire en ligne)