Mathématiques modernes

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Page d'aide sur les redirections Cet article concerne l'histoire de l'enseignement des mathématiques. Pour le groupe de musique, voir Mathématiques Modernes (groupe).

Les « mathématiques modernes » (souvent appelées familièrement les « maths modernes ») étaient une façon d'enseigner les mathématiques dans les pays occidentaux durant les années 1960 et 1970. Elles visaient d'une part à améliorer le niveau scientifique général de la population via un enseignement plus abstrait dès l'école primaire, et d'autre part à dépoussiérer l'enseignement classique des mathématiques à l'école. Ce dernier, très empreint de géométrie, d'arithmétique et de trigonométrie, avait en effet tardé à incorporer les mutations formidables des mathématiques durant la première moitié du XXe siècle.

La radicalité de cette réforme, son élitisme, son introduction trop rapide, et son lancement dans une période de grands changements de société et de massification de l'enseignement, ont mené à son rejet par de nombreux instituteurs, professeurs et parents d'élèves. L'enseignement actuel des mathématiques a été façonné en partie par les critiques formulées à l'époque à l'encontre des mathématiques modernes.

Contexte historique[modifier | modifier le code]

Contexte historique international[modifier | modifier le code]

En pleine guerre froide, le lancement de Spoutnik 1 par les Soviétiques provoqua un véritable traumatisme aux États-Unis, où il fut comparé par plusieurs journaux à une forme de Pearl Harbor technologique[réf. souhaitée]. Afin d'améliorer à grande échelle les compétences scientifiques de la population et de rattraper les ingénieurs soviétiques, réputés très bons mathématiciens, un ensemble de réformes de l'école américaine, portant principalement sur le niveau primaire (« grade school »), fut décidé. On l'appela les New Math (littéralement les « mathématiques nouvelles »), que l'on traduira par « mathématiques modernes » dans le monde francophone.

Dès le début des années 1960, cette nouvelle méthode de formation fut aussi adoptée par de nombreux pays d'Europe de l'Ouest (Royaume-Uni, France, Allemagne de l'Ouest, Belgique…) avec des ajustements et spécificités propres à chaque pays.

Contexte historique français[modifier | modifier le code]

Les mathématiques modernes sont apparues en France dans un contexte différent des États-Unis, moins marqué par la guerre froide. Leur genèse a été beaucoup plus influencée par le bourbakisme en mathématiques et, dans une moindre mesure, par le structuralisme en sciences humaines et la pédopsychologie de Piaget.

Dans les années 1950 et 1960, la recherche en mathématiques en France était dominée, ou en tout cas fortement inspirée, par l'école Bourbaki, qui venait de publier de nombreux tomes du traité « Éléments de mathématique ». L'objectif ambitieux de ce travail était de reformuler entièrement les mathématiques en se fondant notamment sur la notion de structure[1]. Beaucoup de gens dénonçaient l'écart grandissant qui se creusait entre les mathématiques enseignées à l'école et les mathématiques pratiquées par les chercheurs[2]. De là naquit une dynamique visant à moderniser l'enseignement des mathématiques.

Il est important aussi de remarquer que les mathématiques modernes sont apparues en France dans un contexte institutionnel et sociétal bien particulier, qui aide à comprendre comment cette réforme a été reçue et perçue sur le terrain. Le contexte institutionnel, tout d'abord, se caractérisait par la massification de l'enseignement. L'école obligatoire jusqu'à 16 ans fut mise en œuvre graduellement par les réformes Berthoin en 1959 et Fouchet en 1963[2]. Le collège unique fut instauré par la loi Haby en 1975. Quant au contexte sociétal, il fut très marqué par les événements de mai 1968, qui arrivèrent peu après le début de la mise en œuvre de cette réforme.

La réforme[modifier | modifier le code]

En France, la « réforme des maths modernes » fut lancée sous l'impulsion de la Commission ministérielle d’étude pour l’enseignement des mathématiques, présidée par André Lichnerowicz, et communément appelée « Commission Lichnerowicz ». Cette commission débuta ses travaux en janvier 1967 et demeura active jusqu'en 1973[3]. Elle comportait plusieurs membres du groupe Bourbaki, dont le rayonnement international fut souvent invoqué pour justifier les décisions prises.

L'objectif de cette réforme était de moderniser l'enseignement des mathématiques à l'école primaire, au collège et au lycée, en insistant sur les structures mathématiques. Elle s'appuyait notamment sur ce que les mathématiciens nomment la théorie naïve des ensembles, souvent appelée abusivement « théorie des ensembles » par les profanes[4].

Cette réforme fut pilotée sans grande concertation avec les enseignants, à charge pour les inspecteurs de l'Éducation nationale de transmettre les instructions et de mettre en place les stages de recyclage. Cette approche d'« en haut » ne facilita bien entendu pas son adoption par la base.

Plusieurs membres de la « Commission Lichnerowicz » se désolidarisèrent du groupe au début des années 1970, notamment Jean Dieudonné. Lichnerowicz démissionna en 1973[5], ce qui sonna le glas de la deuxième phase de la réforme.

Les mathématiques modernes en pratique (cas de la France)[modifier | modifier le code]

À l'école primaire, la « théorie des ensembles » et les bases de numération autres que la base 10 constituaient l'aspect le plus visible de la réforme. Le programme commençait par l'étude de la théorie naïve des ensembles en parallèle de l'arithmétique. Par exemple, la base 2, essentielle en électronique et en informatique, était présentée dès le CE1 (7 ans), ainsi qu'une rapide introduction à la base 3. Une première initiation à la théorie naïve des ensembles était enseignée au moyen de diagrammes bigarrés, également dès le CE1. On espérait ainsi développer la pensée logique et les facultés d'abstraction des élèves.

En sixième (11 ans) et en cinquième (12 ans), les élèves se penchaient à nouveau sur la « théorie des ensembles », cette fois sous l'angle des relations et des applications. Le programme était aussi caractérisé par une approche différente de l'arithmétique, et la mise en pratique du calcul était souvent remplacée par une approche théorique, plus abstraite.

En classe de quatrième (13 ans), dans certaines écoles, la géométrie était détachée de la notion de dessin et de construction, pour endosser une structure axiomatique plus absconse. Le théorème de Thalès était érigé en axiome à partir de la classe de quatrième. La notion de mesure algébrique, à mi-chemin entre la notion de distance et celle de vecteur, ajoutait à la confusion dans la formulation de cet axiome. En troisième (14 ans) et en seconde (15 ans), l'approche classique de la géométrie euclidienne était mêlée à des éléments théoriques inspirés du programme d'Erlangen.

L'algèbre abstraite était introduite dès la classe de seconde (15 ans), avec notamment les structures de groupe, de corps et d'espace vectoriel[6], en utilisant un symbolisme issu de la théorie des ensembles (quantificateurs logiques notamment). En classe de première (16 ans), beaucoup de temps était consacré aux espace vectoriels, aux applications linéaires et à l'algèbre linéaire[7], notamment aux matrices, et très peu à la géométrie. Au lycée, la géométrie n'était véritablement abordée qu'en terminale (17 ans), sous l'angle théorique des isométries[8].

Problèmes posés par les mathématiques modernes[modifier | modifier le code]

Changement radical, excès d'abstraction[modifier | modifier le code]

De nombreux enseignants et parents d'élèves, en France comme aux États-Unis, se plaignirent de cette nouvelle façon d'enseigner les mathématiques. Outre la résistance naturelle au changement, le saut quantitatif était trop important. Les parents ne comprenaient rien à ce que leurs enfants étudiaient à l'école, et étaient frustrés de ne pouvoir leur apporter aucun soutien. L'abstraction étaient à leurs yeux excessive et trop éloignée des compétences moyennes des élèves.

Élitisme[modifier | modifier le code]

L'enseignement des mathématiques modernes a été rapidement taxé d'élitisme car s'il convenait fort bien aux élèves doués en mathématiques, il posait en revanche souvent des difficultés aux autres élèves. Dans les années qui suivirent l'introduction de l'école obligatoire jusqu'à 16 ans, mai 1968, puis l'instauration du collège unique, cet élitisme n'était pas dans l'air du temps et semblait incompatible avec la massification de l'enseignement.

Introduction trop rapide[modifier | modifier le code]

Lorsque la réforme fut mise en œuvre suite aux préconisations de la « Commission Lichnerowicz », de nombreux enseignants n'étaient pas prêts. Comme le rappelle Hèlène Gispert, « dans l’enseignement moyen seuls moins de 20% des enseignants de mathématiques étaient alors des professeurs certifiés ou agrégés »[2]. Parmi les plus de 80% restants, beaucoup ne comprenaient pas grand-chose aux mathématiques modernes, et les besoins de formation furent mal anticipés et pas toujours satisfaits. Comme souvent en France, on avait beaucoup plus réfléchi au contenu de la réforme qu'aux modalités de sa mise en œuvre.

Après les mathématiques modernes[modifier | modifier le code]

Les mathématiques modernes stricto sensu furent abandonnées par la plupart des enseignants durant les années 1980. En France, par exemple, la géométrie traditionnelle revint dans les programmes de lycée à partir de 1983, au détriment de l'algèbre linéaire et de l'algèbre abstraite.

En revanche, les mathématiques modernes ont durablement influencé l'enseignement des mathématiques dans le monde occidental. Leurs excès ont été corrigés, l'algèbre est mieux enseignée aujourd'hui que dans les années 1950, et les passions qui se déchaînaient jadis contre les « maths modernes » ont trouvé de nouvelles cibles[9]. L'enseignement des mathématiques est une discipline en permanente évolution !

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cf. livre de Lang et Tate, pp. 534-538.
  2. a, b et c Cf. article de Gispert, Section IV.
  3. Cf. article de d'Enfert et Gispert, p. 1.
  4. En mathématiques, la théorie des ensembles développée par Georg Cantor, Kurt Gödel, Ernst Zermelo, etc. est bien plus complexe que la théorie naïve des ensembles.
  5. Cf. article de Gispert, Section V.
  6. Cf. livre de Monge et Hautcoeur Tardieu, pp. 17, 19 et 40.
  7. Cf. livre de Monge, Pelle et al., pp. 201-266.
  8. Cf. livre de Gourion et Lixi.
  9. Par exemple, certains livres de mathématiques actuels préconisent d'enseigner la loi normale dès la classe de seconde !

Bibliographie et sites Web[modifier | modifier le code]

  • Évelyne Barbin, Actualité d'Émile Fourrey, préface aux Récréations Géométriques, Vuibert, 1993. ISBN 2-7117-8896-2.
  • Rudolf Bkouche, Bernard Charlot et Nicolas Rouche, Faire des mathématiques : le plaisir du sens, Armand Colin, 1991.
  • Renaud De La Taille, « Réponse à A. Lichnerowicz », Science et Vie, n° 651, décembre 1971.
  • Renaud d’Enfert et Hélène Gispert, "Une réforme à l’épreuve des réalités : le cas des « mathématiques modernes » au tournant des années 1970", in Actes du colloque « L’État et l’éducation », 1808-2008, Paris, 2008.
  • Hélène Gispert, L’enseignement des mathématiques au XXe siècle dans le contexte français, CultureMATH.
  • Marc Gourion et Christian Lixi, Géométrie, Classes terminales C et E, Fernand Nathan, 1978. WorldCat.
  • S. Lang et J. Tate (Eds.), The Collected Papers of Emil Artin, Addison-Wesley, 1965.
  • Paul René Machin, Prof de maths, Nouvelles Éditions Debresse, Paris, 1974.
  • Maurice Mashaal, « Les maths modernes à l'école », Pour la Science, n° spécial Bourbaki, février-mai 2000.
  • M. Monge et S. Hautcoeur Tardieu, Mathématiques, Seconde C et T, Belin, 1974. ISBN 2-7011-0222-7. WorldCat.
  • M. Monge, J.-P. Pelle, C. Cassignol et F. Pécastaings, Mathématiques, Classe de première C, D, E, Tome 1, Belin, 1970. ISBN 2-7011-0138-7. WorldCat.
  • (en) New Math.
  • Georges Papy, Mathématique moderne 1, Marcel Didier, Bruxelles-Paris, 1964.
  • André Warusfel, Les mathématiques modernes, Seuil, 1969.
  • Philippe Pajot, in Science & Vie no. 1153, octobre 2013, pp. 111 à 120, Les mathématiques - Penser types plutôt qu'ensembles.