Masse réduite

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En physique, la masse réduite est la masse attribuée à l'objet fictif mis en œuvre dans la simplification des problèmes d'interaction de deux corps de la mécanique newtonienne.

On note habituellement la masse réduite par la lettre grecque μ et ses unités SI sont les mêmes que celles de la masse : les kilogrammes (kg).

Équations[modifier | modifier le code]

Problème à deux corps[modifier | modifier le code]

Soit deux particules en interaction mutuelle, l'une de masse m_1 et l'autre de masse m_2, le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse (réduite) \mu :

\mu =  {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\ .

La force appliquée sur cette masse est la résultante des forces entre les masses initiales. Le problème est alors résolu mathématiquement en remplaçant les masses comme suit:

 m_1 \rightarrow \mu

et

 m_2 \rightarrow 0

Problème à N corps[modifier | modifier le code]

La définition de masse réduite peut être généralisée au Problème à N corps:

\mu =\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{m_i}\right)^{-1}

Approximation[modifier | modifier le code]

Lorsque la masse m_1 est très supérieure à la masse m_2 la masse réduite est approximativement égale à la plus faible des masses :

\mu = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\ = {{m_1 m_2} \over {m_1}({1 +  {{m_2} \over {m_1} })}}\ = {{m_2} \over {1 +  {{m_2} \over {m_1} }}}\ \approx m_2

Dérivation[modifier | modifier le code]

Les équations de la mécanique sont dérivées comme suit.

Mécanique newtonienne[modifier | modifier le code]

La deuxième loi de Newton permet d'exprimer la force exercée par la particule 2 sur la particule 1 comme

\bold{F}_{12} = m_1 \bold{a}_1. \!\,

La force exercée par la particule 1 sur la particule 2 est

\bold{F}_{21} = m_2 \bold{a}_2. \!\,

La troisième loi de Newton prévoit que le force exercée par la particule 2 sur la particule 1 est égale et opposée à la force exercée par la particule 1 sur la particule 2

\bold{F}_{12} = - \bold{F}_{21}.\!\,

Ainsi,

m_1 \bold{a}_1 = - m_2 \bold{a}_2. \!\,

et

\bold{a}_2=-{m_1 \over m_2} \bold{a}_1. \!\,

L'accélération relative arel entre les deux corps est donnée par

\bold{a}_{\rm rel}= \bold{a}_1-\bold{a}_2 = \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right) \bold{a}_1 = \frac{m_2+m_1}{m_1 m_2} m_1 \bold{a}_1 = \frac{\bold{F}_{12}}{\mu}.

Ceci permet de conclure que la particule 1 se déplace par rapport à la position de la particule 2 comme s'il s'agissait d'un corps de masse équivalente à la masse réduite.

Mécanique lagrangienne[modifier | modifier le code]

Le problème à deux corps est décrit en mécanique lagrangienne par le lagrangien suivant

L = {1 \over 2} m_1 \mathbf{\dot{r}}_1^2 + {1 \over 2} m_2 \mathbf{\dot{r}}_2^2 - V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | ) \!\,

ri est le vecteur de position de la particule i (de masse mi) et V est une fonction d'énergie potentielle, qui ne dépend que de la distance entre les particules (condition nécessaire pour conserver l'invariance translationnelle du système). On définit

\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2

et on positionne l'origine du système de coordonnées utilisé afin qu'il coïncide avec le centre de masse, ainsi

 m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 = 0 .

De cette manière,

 \mathbf{r}_1 = \frac{m_2 \mathbf{r}}{m_1 + m_2} , \mathbf{r}_2 = \frac{-m_1 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}.

En substituant ceci dans le lagrangien on obtient

 L = {1 \over 2}\mu \mathbf{\dot{r}}^2 - V(r),

un nouveau lagrangien pour une particule de masse réduite :

\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} .

Nous avons donc réduit le problème initial à deux corps à un problème simplifié à un corps.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reduced mass » (voir la liste des auteurs)

John R. Taylor (trad. Tamer Becherrawy et Aurélie Cusset), Mécanique classique, De Boeck,‎ 2012 (ISBN 9782804156893)