Masse au repos

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Pour des raisons d'écriture et d'accessibilité, les vecteurs sont ici en lettre romaine (droite) grasse et les scalaires ("nombres") en italique.

La masse au repos, masse propre ou encore masse invariante (par opposition à la masse relative, dépendante du référentiel), usuellement notée m_0, est la masse inerte d'un corps dans un référentiel inertiel où il est au repos, ou d'un système physique dans un référentiel inertiel où son centre d'inertie est au repos. Elle est principalement utilisée en relativité restreinte et en physique des particules.

Particule seule[modifier | modifier le code]

Dans tout référentiel inertiel, elle peut être calculée à partir de l'énergie totale E de la particule et de sa quantité de mouvement p = \|\mathbf{p}\| par la relation suivante :

m_0^2=\left(\frac{E}{c^2}\right)^2-\left(\frac{p}{c}\right)^2\,

c est la vitesse de la lumière.

On obtient cette relation à partir de la norme du quadrivecteur énergie-implusion d'une particule :

E^2 - (pc)^2=m_0^2 c^4.

Si la particule est au repos, son énergie au repos E_0 vaut donc :

\ E_0=m_0 c^2.

Ce concept vient de la théorie de la relativité restreinte qui a amené Albert Einstein à postuler l'équivalence entre la masse et l'énergie.

On peut relier la masse inertielle m d'une particule qui se déplace à vitesse v à sa masse invariante par la l'équation :

 m=\gamma\ m_0 = \frac {1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}m_0.

Cette relation assigne donc une limite maximale à la vitesse d'un objet. Si la vitesse de l'objet tend vers celle de la lumière, la masse de l'objet tend vers l'infini.

Système de plusieurs particules[modifier | modifier le code]

Le concept de masse invariante peut être généralisé pour un système de plusieurs particules. On ne considérera ici que des systèmes fermés pour des raisons de simplicité.

Cas général[modifier | modifier le code]

Dans le cas général, on a la relation suivante :

\left(M_0 c^2\right)^2= E^2-\left(pc\right)^2,
soit M_0^2= \left(\frac{E}{c^2}\right)^2-\left(\frac{p}{c}\right)^2.

M_0 est la masse au repos totale du système, E l'énergie totale du système et p = \left\|\mathbf{p}\right\| la quantité de mouvement totale du système. On remarquera que cette formule est exactement la même que pour une particule seule, à la seule différence qu'il faut prendre les données globales du système à la place des données particulières.

Il faut néanmoins noter que cette masse invariante globale n'est pas égale à la somme des masses invariantes des particules composant le système : en plus de ces masses individuelles, il faut ajouter la masse « apparente » M_c correspondant à l'énergie cinétique interne E_c du système (E_c = \sum_i E_{c,i}, c'est-à-dire la somme des énergies cinétiques des particules dans le référentiel du centre de masse du système global ; M_c = \sum_i m_{c,i} = \frac{E_c}{c^2}) ainsi que la masse \Delta m correspondant à l'énergie d'interaction \Delta E entre les particules (\Delta E = \sum_i \Delta E_{i,j}, c'est-à-dire la somme des énergies d'interaction pour chaque paire de particules du système ; \Delta m = \sum_i \Delta m_{i,j} = \frac{\Delta E}{c^2}). Les relations entre données individuelles (m_{0,i} et E_{0,i}, m_{c,i} et E_{c,i}, \Delta m_{i,j} et \Delta E_{i,j}) et globales (M_0 et E, M_m et E_m, M_c et E_c, \Delta E et \Delta m) sont donc :

E = E_m + E_c + \Delta E = \left(\sum_i E_{0,i}\right) + \left(\sum_i E_{c,i}\right) + \left(\sum \Delta E_{i,j} \right),
\mathbf{p} = \sum_i \mathbf{p}_i ~~ ; ~~ p = \left\|\mathbf{p}\right\| = \left\|\sum_i \mathbf{p}_i\right\|.

et surtout, ce qui nous intéresse ici :

M_0 = M_m + M_c + \Delta m = \left(\sum_i m_{0,i}\right) + \left(\sum_i m_{c,i}\right) + \left(\sum \Delta m_{i,j} \right),

Avec les données usuelles (les m_{0,i} ou E_{0,i}, les E_{c,i} et les \Delta E_{i,j}), on a :

M_0 = M_m + \frac{E_c}{c^2} + \frac{\Delta E}{c^2} = \left(\sum_i m_{0,i}\right) + \left(\sum_i \frac{E_{c,i}}{c^2}\right) + \left(\sum \frac{\Delta E_{i,j}}{c^2} \right),
M_0 = \frac{E}{c^2} = \frac{E_m}{c^2} + \frac{E_c}{c^2} + \frac{\Delta E}{c^2} = \left(\sum_i \frac{E_{0,i}}{c^2}\right) + \left(\sum_i \frac{E_{c,i}}{c^2}\right) + \left(\sum \frac{\Delta E_{i,j}}{c^2} \right).

Cas particulier 1 : particules sans interaction[modifier | modifier le code]

Si les interactions entre les particules sont nulles, ou si elles peuvent être négligées (c'est-à-dire que l'énergie d'interaction peut être négligée devant les énergie de masse et/ou cinétique interne), on a alors :

M_0 = M_m + M_c = \left(\sum_i m_{0,i}\right) + \left(\sum_i m_{c,i}\right),
M_0 = M_m + \frac{E_c}{c^2} = \left(\sum_i m_{0,i}\right) + \left(\sum_i \frac{E_{c,i}}{c^2}\right),
M_0 = \frac{E}{c^2} = \frac{E_m}{c^2} + \frac{E_c}{c^2} = \left(\sum_i \frac{E_{0,i}}{c^2}\right) + \left(\sum_i \frac{E_{c,i}}{c^2}\right).

Cas particulier 2 : particules « presque immobiles »[modifier | modifier le code]

Dans certains cas, l'énergie cinétique peut être négligée : cette approximation est valable dans le cas où l'énergie de masse et/ou l'énergie d'interaction sont grandes devant l'énergie cinétique interne des particules. Ce cas particulier est un cas d'école : c'est une approximation théorique qui en pratique n'existe pas. On a alors :

M_0 = M_m + \Delta m = \left(\sum_i m_{0,i}\right) + \left(\sum \Delta m_{i,j} \right),
M_0 = M_m + \frac{\Delta E}{c^2} = \left(\sum_i m_{0,i}\right) + \left(\sum \frac{\Delta E_{i,j}}{c^2} \right),
M_0 = \frac{E}{c^2} = \frac{E_m}{c^2} + \frac{\Delta E}{c^2} = \left(\sum_i \frac{E_{0,i}}{c^2}\right) + \left(\sum \frac{\Delta E_{i,j}}{c^2} \right).

Cas particulier 3 : particules « presque immobiles » et sans interaction[modifier | modifier le code]

Ce cas est le cas extrême, combinaison des deux précédents, où l'énergie d'interaction et l'énergie cinétique interne sont toutes les deux négligeables devant l'énergie de masse du système. Dans ce cas, la masse propre du système global est simplement la somme des masses propres des particules composant le système :

M_0 = M_m = \sum_i m_{0,i},
M_0 = \frac{E}{c^2} = \frac{E_m}{c^2} = \sum_i \frac{E_{0,i}}{c^2}.


Dans un autre système de coordonnées[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'un système de deux particules sans masse dont les impulsions sont séparées par un angle \theta, la masse invariante a pour expression simplifiée :

M^2 \, = (E_1+E_2)^2-\|\textbf{p}_1 + \textbf{p}_2\|^2 \,
= [(p_1,0,0,p_1)+(p_2,0,p_2\sin\theta, p_2\cos\theta)]^2 = (p_1+p_2)^2 -p_2^2\sin^2\theta -(p_1 + p_2\cos\theta)^2 \,
= 2 p_1p_2(1 - \cos\theta). \,


De même, en physique des collisionneurs, les grandeurs telles que la pseudorapidité  \eta ou l'angle azimuthal  \phi , associées à l'impulsion transverse  p_{T} , sont souvent utilisées comme système de coordonnées dans les détecteurs. Dans l'hypothèse de particules sans masse ou relativistes (  E >> m,) la masse invariante prend la forme :

M^2 \, = 2 p_{T 1} p_{T 2} ( \cosh(\eta_1 - \eta_2) - \cos (\phi_1 - \phi_2) ) .\,