Méthode delta

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En probabilité et en statistiques, la méthode delta (ou delta méthode) est une méthode pour obtenir une approximation de la distribution asymptotique de la transformée d'une variable aléatoire asymptotiquement normale. Plus généralement, on peut considérer la méthode delta comme une extension du théorème central limite.

Cas univarié[modifier | modifier le code]

Soit une suite de variables aléatoires X_1, \ldots, X_n d'espérance \theta et de variance \sigma^2. Si {\sqrt{n}[X_n-\theta]\,\xrightarrow{L}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2)}, avec \xrightarrow{L} la notation pour la convergence en loi, d'après la méthode delta, pour toute fonction g dérivable et telle que g'(\theta) \neq 0 :

{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]\,\xrightarrow{L}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2[g'(\theta)]^2)}[1].

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit X_1,\ldots, X_n une suite de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance \sigma^2. D'après le théorème central-limite, on sait que \sqrt{n} [\bar{X_n} - \mu]\, \xrightarrow{L}\, \mathcal{N}(0,\sigma^2). Maintenant, si on définit W_n = e^{\bar{X_n}}, on peut obtenir la distribution asymptotique de W_n grâce à la méthode delta. Dans ce cas, on a la fonction g(x) = e^x. On sait que cette g'(x) = e^x. En appliquant la méthode delta, on obtient \sqrt{n}[e^{\bar{X_n}}-e^\mu]\,\xrightarrow{L}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2 e^{2\mu})[1].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, Springer, coll. « Springer Texts in Statistics »,‎ 2004, p. 79