Méthode de la transformée inverse

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.

Le problème que résout cette méthode est le suivant :

Soit X une variable aléatoire dont la loi est décrite par la fonction de répartition FX. On désire obtenir une suite de réalisations de X.

Cette méthode est fondée sur la propriété que la variable aléatoire U=FX(X) est distribuée uniformément sur [0;1] dès que la fonction de répartition FX est continue et strictement croissante sur \R. La distribution recherchée s'obtient donc comme l'ensemble des antécédents x des tirages u selon une distribution uniforme pour la fonction de répartition FX. Autrement dit, la variable aléatoire FX−1(U) a pour fonction de répartition FX, où U est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0;1].

Pour une formulation plus précise, voir le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

La plupart des langages de programmation permettant de produire des nombres pseudo-aléatoires de distribution uniforme, il suffit de calculer l'antécédent des nombres tirés selon la fonction de répartition FX.

Pour certaines lois, on sait inverser FX :

Mais la plupart du temps, le calcul de l'antécédent est problématique: on ne sait pas obtenir x vérifiant FX(x)=u, car on ne sait pas inverser la fonction FX. Il faut alors procéder numériquement, pour résoudre en x l'équation FX(x)-u=0, en utilisant au choix une fonction tabulée, la méthode de dichotomie, la méthode de la fausse position, la méthode de la sécante ou encore la méthode de Newton.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Luc Devroye. Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag, 1986. (site) Voir le chapitre 2, section 2, p. 28