Méthode de la transformée inverse

La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.

Le problème auquel s'adresse cette méthode est le suivant :

Soit $X$ une variable aléatoire dont la distribution est décrite par la fonction de répartition $F(x)$ ;

On désire obtenir une suite de réalisations de $X$.

Cette méthode est fondée sur la propriété que la variable aléatoire $U=F_{X}(X)$ est distribuée uniformément sur [0;1] dès que la fonction de répartition $F_{X}(x)$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}.$ La distribution recherchée s'obtient donc comme l'ensemble des antécédents $x$ des tirages $u$ selon une distribution uniforme pour la fonction de répartition $F_{X}(x)$. Autrement dit, la variable aléatoire $F_{X}^{-1}(U)$ a pour loi $F_{X}(x)$, où $U$ est une loi uniforme sur $[0;1]$. Pour une formulation plus précise, voir le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

La plupart des langages de programmation permettant de produire des nombres pseudo-aléatoires de distribution uniforme, il suffit de calculer l'antécédent des nombres tirés selon la fonction de distribution $F_X(x)$.

Pour certaines lois, on sait inverser $F_{X}(x)$:

• la Loi exponentielle de paramètre λ se tire comme $-\log(U)/\lambda$;
• la Loi de Cauchy standard se simule comme $\tan(\pi U)$;
• la Loi logistique standard se simule comme $\log[U/(1-U)]$;
• la Loi de Laplace se simule comme $-\mbox{sgn}(U)\log(1-2|U|)$.

Mais la plupart du temps, le calcul de l'antécédent est problématique: on ne sait pas obtenir x vérifiant $F_X(x) = u$, car on ne sait pas inverser la fonction $F_X$. Il faut alors procéder numériquement, pour résoudre en x l'équation $F_X(x) - u = 0$, en utilisant au choix une fonction tabulée, la Méthode de dichotomie, la Méthode de la fausse position, la Méthode de la sécante ou encore la Méthode de Newton.

Voir aussi

• Méthode de rejet
• Cette méthode est aussi importante sur le plan théorique. Voir en particulier le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

Références

• Luc Devroye. Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag, 1986. (site) Voir le chapitre 2, section 2, p. 28