Méthode de la phase stationnaire

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En mathématiques, la méthode de la phase stationnaire permet d'évaluer le comportement asymptotique d'une intégrale du type :

\mathrm{I}(\lambda) = \int_a^b f(x) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \lambda g(x)} \, \mathrm{d}x\,

lorsque \lambda\rightarrow +\infty et où \mathrm{i}= \sqrt{-1}.

Idée générale[modifier | modifier le code]

Le comportement de l'intégrale est approché par son comportement au voisinage des bornes d'intégration mais aussi au voisinage du point où la phase \lambda g(x) est stationnaire, c’est-à-dire pour les points x_s\, tels que la dérivée de g soit nulle, i.e. g'(x_s) = 0\,.

Lorsqu'il existe un ou plusieurs points stationnaires, la contribution principale de l'intégrale sera donnée uniquement par l'expression approchée de l'intégrale au voisinage de ces points, lorsque \lambda \to +\infty. L'erreur commise par cette méthode est de l'ordre de  O\left( 1/\lambda \right)\, dans la notation de Landau.

Hypothèses[modifier | modifier le code]

f(x) et g(x) sont des fonctions continues et dérivables (la dérivée de g est aussi continue) d'une variable réelle x sur le segment [a,b], soit :

(i) f \in \mathcal{C}[a,b]

(ii) g \in \mathcal{C}^2[a,b]

Cas de figure et résultats[modifier | modifier le code]

plusieurs cas de figure peuvent être distingués :

  • g(x) ne possède pas de points stationnaires sur a \leq x \leq b. L'intégrale est alors approchée par intégration par parties successives :
I(\lambda) = \frac{f(b)}{i \lambda g'(b)} e^{i\lambda g(b)} -  \frac{f(a)}{i \lambda g'(a)} e^{i\lambda g(a)} + O\left(\frac{1}{\lambda^2}\right)\,
  • g(x) possède un seul point stationnaire x_s sur a < x < b

- Si g''(x_s) > 0 :

I(\lambda) = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda g''(x_s)}}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{i \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)\,

- Si g''(x_s) < 0 :

I(\lambda) = \sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda g''(x_s)}}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{-i \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)\,

Remarque 1: En notant \sigma=\sgn(g''(x_s)), les expressions précédentes peuvent être réduites à :

I(\lambda) = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda | g''(x_s)| }}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{i \sigma \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)\,

Remarque 2: Si g(x) possède plusieurs points stationnaires sur a < x < b, alors il convient de faire la somme des contributions de chacun des points stationnaires.

  • g(x) possède un seul point stationnaire correspondant à la borne inférieure de l'intégrale x_s=a

I(\lambda) = \frac{f(b)}{i \lambda g'(b)} e^{i\lambda g(b)} 
+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda | g''(x_s)| }}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{i \sigma \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)

  • g(x) possède un seul point stationnaire correspondant à la borne supérieure de l'intégrale x_s=b

I(\lambda) = -\frac{f(a)}{i \lambda g'(a)} e^{i\lambda g(a)} 
+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda | g''(x_s)| }}f(x_s) e^{i \lambda g(x_s)} e^{i \sigma \frac{\pi}{4}} + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)

Remarque 3: Cette approximation n'est pas valide lorsque le point stationnaire x_s approche de l'une des bornes de l'intégrale. Par exemple, si le point stationnaire varie et dépasse la borne supérieure, l'approximation devient discontinue selon la position du point stationnaire: inférieur, égal ou supérieur à la borne supérieure. Dans ce cas, il convient alors d'utiliser une approximation asymptotique uniforme, faisant intervenir les intégrales de Fresnel.

Origine de la méthode[modifier | modifier le code]

Cette méthode est dérivée de la méthode de Laplace. Lorsque l'intégration porte sur un domaine complexe (et non plus sur des bornes réelles), on utilise la généralisation complexe de cette méthode : la méthode de la plus grande pente ou la méthode du col (ou du point selle).

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) N. Bleistein et R. A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986 [1975]
  • (en) L. B. Felsen (de) et N. Marcuvitz (en), Radiation and Scattering of Waves, IEEE-Wiley, 1994 [1972], chap. 4
  • (en) E. T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965
  • (en) B. Harris et S. A. Kramer, « Asymptotic Evaluation of the Ambiguity functions of high-gain FM Matched filter sonar systems-Harris », dans Proceeding of IEEE, vol. 56, N° 12, décembre 1968, cas du point stationaire, formule (15)