Méthode de factorisation de Fermat

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En arithmétique modulaire, la méthode de factorisation de Fermat est un algorithme de décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier naturel.

Intuition[modifier | modifier le code]

L'intuition est la suivante. Tout entier naturel impair N se décompose en la différence de deux carrés : N = a2b2. Algébriquement, cette différence se factorise en (a + b)(a – b) et, si ni a + b ni a – b n'est égal à 1, alors ce sont des facteurs non triviaux de N.

Il existe une telle représentation pour tout nombre impair composé. Si N = cd est une factorisation de N, alors N=\left(\frac{c+d}2\right)^2-\left(\frac{c-d}2\right)^2. Puisque N est impair, c et d le sont aussi et ces « moitiés » sont des nombres entiers. (Notons qu'un multiple de 4 donne aussi une différence de deux carrés, en posant c et d comme nombres pairs.)

Dans sa forme la plus simple, la méthode de factorisation de Fermat peut être plus lente que la factorisation par essais de divisions. Néanmoins, la combinaisons des deux méthodes est plus efficace qu'uniquement l'une ou l'autre.

Méthode de base[modifier | modifier le code]

On essaie différentes valeurs de a, en espérant que a2N soit un carré b2.

FactorFermat(N): // N doit être impair
A ← plafond(sqrt(N))
Bsq ← A*A - N
pendant que Bsq n'est pas un carré:
A ← A + 1
Bsq ← A*A - N // ou de façon équivalente : Bsq ← Bsq + 2*A + 1
finpendant
retourner A - sqrt(Bsq) // ou A + sqrt(Bsq)

Analyse[modifier | modifier le code]

Soit N avec plus d'une factorisation (N a plus que deux facteurs). Cette méthode produit la factorisation de N avec les plus petites valeurs de a et de b, c'est-à-dire que a + b est le plus petit facteur pas plus petit que la racine carrée de N. Donc, a – b = N/(a + b) est le plus grand facteur n'excédant pas la racine carrée de N. Si la méthode produit N = 1 × N, cela montre que N est un nombre premier.

Complexité[modifier | modifier le code]

Pour N = cd, soit c le plus grand facteur plus petit que la racine carrée de N et soit a = (c + d)/2. Alors, le nombre d'opérations est approximativement(c+d)/2-\sqrt N-(\sqrt d-\sqrt c)^2/2=(\sqrt N-c)^2/(2c).

Si N est premier (donc c = 1), l'algorithme prend O(N) opérations. C'est donc une façon très inefficace de démontrer la primalité d'un nombre. Par contre, si N a un facteur suffisamment près de sa racine carrée, alors la méthode de Fermat est très efficace. Plus précisément, si c diffère de moins que (4N)1/4 de N, la méthode ne prend qu'une seule opération. Cette analyse est indépendante de la grandeur de N.

Exemple[modifier | modifier le code]

Par exemple, pour factoriser N = 5 959, on calcule :

A 78 79 80
Bsq 125 282 441

Le troisième essai produit un carré. A = 80, B = 21 et les facteurs sont A – B = 59 et A + B = 101.

Améliorations importantes[modifier | modifier le code]

Les méthodes de factorisation du crible quadratique et du crible général de corps de nombres (GNFS) sont basées en grande partie sur la méthode de factorisation de Fermat.

Méthode de factorisation de Lehman[modifier | modifier le code]

La méthode de Fermat fonctionne optimalement lorsqu'un des facteurs est approximativement la racine carrée de N. La question qui s'ensuit est : peut-on s'arranger pour que ce soit le cas ?

Si on connaît approximativement le quotient de deux facteurs, d/c, alors on peut choisir un nombre rationnel, v/u, proche de ce quotient. Posons Nuv = cv × du, donc les facteurs sont à peu près égaux : la méthode de Fermat appliquée à Nuv les trouvera rapidement. Puis, on obtient pgcd(N, cv) = c et pgcd(N, du) = d (sauf si c divise u ou d divise v).

En général, le quotient n'est pas connu, mais on peut essayer différentes valeurs de u/v et essayer de factoriser chaque Nuv résultant. Une méthode systématique est donnée par Russell Sherman Lehman[1]. Sa complexité calculatoire est de O(N1/3+ε), laquelle est avantageuse par rapport à celle pour la méthode des divisions successives, O(N1/2+ε).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fermat's factorization method » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) R. Sherman Lehman, « Factoring Large Integers », Math. Comp. (en), vol. 28, no 126,‎ avril 1974, p. 637-646 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Congruence de carrés

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Fermat's Factorization Method », MathWorld