Méthode de descente infinie

La méthode de descente infinie est un argument mathématique voisin de la démonstration par récurrence, mais aussi de la démonstration par l'absurde, qui utilise le fait qu'une suite d'entiers naturels strictement décroissante est nécessairement finie. Cette méthode repose sur l'une des propriétés des entiers naturels : « tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément. »

Principe

Soit P(n) une propriété faisant intervenir un entier n. On cherche à démontrer que P(n) est fausse pour tout n. Pour cela on suppose que pour un entier a quelconque, P(a) est vraie. Par un argument mathématique à préciser dans chaque cas, on montre que si P(n) est vraie, alors P(m) est également vraie pour un entier m strictement inférieur à n. On peut alors conclure que P(n) n'est jamais vraie car la suite des entiers naturels vérifiant la propriété P(n) ne peut jamais être strictement décroissante et infinie.

Cette méthode sert essentiellement à démontrer qu'il n'existe pas de nombre entier répondant à une certaine propriété, en construisant une nouvelle solution entière strictement plus petite que la précédente (en un sens à préciser dans chaque cas). Si une supposition induit la possibilité de l'existence d'une suite infinie et strictement décroissante d'entiers naturels alors cette supposition est fausse : en effet on construirait ainsi un entier qui serait plus petit que le plus petit des entiers répondant au problème posé.

Exemples

• Pour montrer qu'il n'existe pas d'entiers naturels non nuls x et y tels que $x^2 = 2y^2$ (1), on suppose qu'il existe de tels entiers, alors x serait pair et s'écrirait $2x_1$. L'égalité (1) s'écrirait $4x_1^2 = 2y^2$, puis $2x_1^2 = y^2$.

On aurait alors y pair. Il s'écrirait $2y_1$. Les entiers $x_1$ et $y_1$ vérifieraient de nouveau $x_1^2 = 2y_1^2$.

Ainsi de suite, on pourrait créer une suite infinie et strictement décroissante d'entiers naturels vérifiant (1).

Absurde donc il n'existe pas d'entiers naturels non nuls x et y tels que $x^2 = 2y^2$.

• Cette méthode peut aussi être utilisée avec des nombres rationnels, la descente infinie s'effectuant sur le dénominateur. Ainsi un telle méthode peut être utilisée pour montrer qu'un cercle d'équation $\scriptstyle x^2+y^2=N$ avec $\scriptstyle N$ un entier passe par un point de coordonnées $\scriptstyle (x,y)$ avec $\scriptstyle x,y$ des nombres rationnels si, et seulement si, il passe par un point $\scriptstyle (n,m)$ avec $\scriptstyle n,m$ des nombres entiers. Le raisonnement se fait par l'absurde en supposant qu'il existe des points du cercle de coordonnées rationnelles et pas de point de coordonnées entières. En partant d'un point du cercle de coordonnées rationnelles $\scriptstyle (\frac{p}{r},\frac{q}{r})$, on choisit un point de coordonnées entières dont la distance à ce point soit inférieure à 1. On trace une droite joignant ces deux points et on calcule les coordonnées $\scriptstyle (\frac{p'}{r'},\frac{q'}{r'})$ de l'autre point d'intersection de cette droite avec le cercle. Le fait que les deux points initiaux soient distants de moins de 1 permet de prouver que le dénominateur de ce nouveau point est un entier $\scriptstyle r' < r$. Cela créerait alors une descente infinie d'entiers naturels.

Histoire

Cette méthode apparaît dans les Éléments d'Euclide, mais c'est surtout Pierre de Fermat qui la formule explicitement et en fait un instrument important dans son programme pour la théorie des nombres entiers ; elle apparaît en particulier dans sa preuve du théorème que la surface d'un triangle rectangle dont les côtés sont entiers ne peut être le carré d'un entier, preuve qui constitue son Observation 45 sur les Arithmétiques de Diophante et qui a été publiée pour la première fois en 1670, dans l'édition posthume de ces observations qu'en fit Samuel de Fermat. Ce théorème entraîne la démonstration du dernier théorème de Fermat pour n=4. Frénicle de Bessy se sert aussi de la méthode de descente infinie, d'après Fermat, dans son Traité des triangles rectangles en nombres, édité en 1676. Elle a été aussi utilisée par Euler pour établir la démonstration du théorème des deux carrés de Fermat, et dans de nombreuses recherches de théorie des nombres. Une variante a été mise en particulier en œuvre pour démontrer le théorème de Mordell-Weil selon lequel la structure des points à coordonnées rationnelles (ou plus généralement à coordonnées dans un corps de nombres) sur une courbe elliptique est un groupe abélien de type fini.

Notes et références

Références

• (en) W. H. Bussey, « Fermat's Method of Infinite Descent », dans Amer. Math. Monthly, vol. 25, p. 333-337
• (de) P. Bussotti, Der "unendliche Abstieg" von Fermat bis Gauß, Rauner, 2006
• R. Cassinet, Histoire de la descente infinie de Campanus à Hilbert, Cahier du séminaire d'histoire des mathématiques de Toulouse 2: B, 1-25

Voir aussi

Article connexe

Relation bien fondée

Lien externe

Catherine Goldstein, Descente infinie et analyse diophantienne : programmes de travail et mises en oeuvres chez Fermat, Levi, Mordell et Weil [PDF]