Méthode de Héron

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En mathématiques, la méthode de Héron ou méthode babylonienne est une méthode efficace d'extraction de racine carrée. Elle porte le nom du mathématicien Héron d'Alexandrie, qui l'expose dans le tome I de son ouvrage Metrica (Les métriques), découvert seulement en 1896[1] mais certains calculs antérieurs, notamment égyptiens[2], semblent prouver que la méthode est plus ancienne.

Héron expose ainsi sa méthode dans le problème 8 du tome I des Métriques. Il détaille initialement une méthode pour calculer l'aire d'un triangle en connaissant ses trois côtés (cf. formule de Héron), en prenant pour exemple un triangle de côtés 7, 8 et 9 unités. Il obtient alors le nombre 720 comme résultat intermédiaire, dont il doit calculer la racine carrée pour aboutir au résultat final. Il propose alors la méthode de calcul suivante[3] :

« Puisque alors les 720 n'ont pas le côté exprimable, nous prendrons le côté avec une très petite différence ainsi. Puisque le carré le plus voisin de 720 est 729 et il a 27 comme côté, divise les 720 par le 27 : il en résulte 26 et deux tiers. Ajoute les 27 : il en résulte 53 et deux tiers. De ceux-ci la moitié : il en résulte 26 2' 3'. Le côté approché de 720 sera donc 26 2' 3'. En effet 26 2' 3' par eux-mêmes : il en résulte 720 36', de sorte que la différence est une 36e part d'unité. Et si nous voulons que la différence se produise par une part plus petite que le 36', au lieu de 729, nous placerons les 720 et 36' maintenant trouvés et, en faisant les mêmes choses, nous trouverons la différence qui en résulte inférieure, de beaucoup, au 36'. »

— Héron d'Alexandrie, Metrica, tome I, 8

Exposé de la méthode[modifier | modifier le code]

Approche géométrique[modifier | modifier le code]

Les rectangles ont même aire. Chaque rectangle a pour longueur la moyenne des dimensions du rectangle précédent.

Il est intéressant mettre en évidence le principe géométrique sous-jacent à la méthode. Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carrée de a revient trouver un carré dont l'aire soit a. En prenant un rectangle de côté arbitraire x et de même aire, il est nécessaire que l'autre côté ait pour longueur a/x. Mais ce rectangle n'est pas carré (en général). Pour le rendre « moins rectangle », il suffit de prendre un rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents soit \frac{x+a/x}2 et dont l'aire reste a.

En réitérant infiniment le processus, on transforme petit à petit le rectangle en carré de même aire. Cette constatation est à la base de la méthode de Héron.

Principe[modifier | modifier le code]

Pour déterminer la racine carrée du nombre (positif) a, on choisit un nombre x_0>0, si possible « assez proche » de a, en général la partie entière de a, puis on construit la suite (x_n)_{n\in\N} par récurrence, de la façon suivante : \forall n\in\N\quad x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}2. La suite ainsi obtenue est une suite décroissante à partir du second terme, convergeant vers a.

Si le premier terme de la suite est un nombre entier naturel ou rationnel, tous les termes successifs seront des nombres rationnels, ce qui permet d'approcher un nombre irrationnel tel que la racine carrée de deux par une suite de rationnels.

Convergence[modifier | modifier le code]

Il est par ailleurs facile de vérifier que la convergence en est quadratique : l'écart entre chaque terme et la limite a évolue comme le carré de l'écart précédent, en effet pour tout n > 0 :

x_{n+1}-\sqrt a=\frac{(x_n-\sqrt a)^2}{2x_n},

soit puisque x_n\ge a :

\left|x_{n+1}-\sqrt a\right|\le\frac{\left |x_n-\sqrt a\right|^2}{2\sqrt a},

ce qui correspond bien à la définition de la convergence quadratique, c’est-à-dire que le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

L'algorithme nécessite à chaque étape de faire une division, qui elle-même requiert une suite d'opérations d'autant plus longue que la précision demandée est importante (on suppose qu'on ne dispose pas de machine à calculer, sans quoi l'algorithme serait inutile). Néanmoins, l'algorithme est robuste, il supporte bien quelques approximations (et même quelques erreurs, dont l'effet sera de retarder l'obtention du résultat mais n'empêchera pas de l'obtenir), ce qui permet de se contenter de divisions (pas trop) fausses, au moins au début.

Du fait de sa convergence rapide, la méthode de Héron permet d'obtenir une bonne approximation de la valeur de a même après peu d'étapes de calcul.

Exemple : calcul de 2 On prend x_0 = 1 , il vient successivement :

x_1=\frac{1+2}2=\frac32=1{,}5,
x_2=\frac{3/2+4/3}2=\frac{17}{12}=1{,}4166\ldots,
x_3=\frac{17/12+24/17}2=\frac{577}{408}=1{,}4142156\ldots,
x_4=\frac{577/408+916/577}2=\frac{665857}{470832}=1{,}4142135623745\ldots,
x_5=\frac{886731088897}{627013566048}=1{,}4142135623730950488016896\ldots,

or en comparant avec la valeur exacte 2 = 1,4142135623730950488016887…, on constate bien la convergence quadratique (2 décimales exactes au deuxième calcul, 5 au troisième, 11 au quatrième, 23 au cinquième…). En seulement trois étapes, la précision relative sur la valeur de 2 est déjà de 10–6, ce qui est excellent, et de moins de 10–12 en quatre étapes. De fait, une des principales problématiques est de choisir une « bonne » valeur pour x_0, idéalement l'entier dont le carré est le plus proche de a, ce que suggérait d'ailleurs Héron lui-même dans la partie des Metrica consacrée à cette question.

Généralisation de la méthode[modifier | modifier le code]

Une méthode analogue existe pour extraire la racine n-ième d'un nombre (voir Algorithme de calcul de la racine n-ième).

La méthode de Héron est un cas particulier de la méthode de Newton. En effet, dans la méthode de Newton, il s'agit de trouver un zéro d'une fonction f en utilisant la récurrence suivante :

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

En prenant

f(x) = x^2 - a,

la récurrence devient

x_{n+1}= x_n - \frac{x_n^2-a}{2x_n} = \frac{x_n^2+a}{2x_n} = \frac{x_n + \frac a{x_n}}2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cf. Encyclopædia Universalis, édition 2008, Thésaurus - tome III, p. 2517.
  2. Marianne Michel, Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes, Safran Bxl,‎ 2014, 608 p. (ISBN 2874570400).
  3. Citation extraite de Bernard Vitrac, « Euclide et Héron : Deux approches de l'enseignement des mathématiques dans l'Antiquité ? », dans Gilbert Argoud, Science et vie intellectuelle à Alexandrie (Ier-IIIe siècle après J. C.), Publications de l'Université de Saint-Étienne,‎ 1995, 226 p. (ISBN 2-86272-058-5, lire en ligne), p. 121-145.

Voir aussi[modifier | modifier le code]