Méthode d'Euler semi-implicite

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En mathématiques, la méthode d'Euler semi-implicite, également connue sous le nom de méthode d'Euler symplectique, méthode d'Euler semi-explicite, Euler–Cromer, et Newton–Størmer–Verlet (NSV), est une variante de la méthode d'Euler initialement conçue pour résoudre les équations de la mécanique hamiltonienne, un système d'équations différentielles ordinaires apparaissant en mécanique newtonienne.

Position du problème[modifier | modifier le code]

La méthode d'Euler semi-implicite peut être appliquée à une paire d'équations différentielles couplées de la forme

 \forall t\in I, {dx(t) \over dt} = f(t,v(t))
 \forall t\in I, {dv(t) \over dt} = g(t,u(t))

I \subset \mathbb R^+, et f\ , g\ sont des fonctions réelles sur I\times\mathbb R. x\ et v\ peuvent être des fonctions scalaires ou vectorielles.

On souhaite résoudre ce système d'équations avec les conditions initiales

 x(t_0) = x_0, \qquad v(t_0) = v_0.

Méthode[modifier | modifier le code]

La méthode d'Euler semi-implicite donne une solution approchée discrète du problème continu précédent par itérations de

\begin{align}
  v_{n+1} &= v_n + g(t_n, x_n) \, \Delta t\\[0.3em]
  x_{n+1} &= x_n + f(t_n, v_{n+1}) \, \Delta t
\end{align}

[t_0, ..., t_N] est une subdivision de I telle que \forall n\in [1,N], t_{n} - t_{n-1} = \Delta t et ainsi t_n = t_0 + n \Delta t.

Cette méthode est rendue semi-implicite par le fait d'utiliser v_{n+1} et non v_n (cas de la méthode d'Euler explicite) dans le calcul de mise à jour de x_{n+1}.

Appliquer la même méthode avec des pas de temps négatifs pour le calcul de (x_n,v_n) d'après (x_{n+1},v_{n+1}) donne après réarrangement des termes la seconde expression de la méthode d'Euler semi-implicite :

\begin{align}
  x_{n+1} &= x_n + f(t_n, v_n) \, \Delta t\\[0.3em]
  v_{n+1} &= v_n + g(t_n, x_{n+1}) \, \Delta t
\end{align}

La méthode d'Euler semi-implicite est, comme la méthode d'Euler explicite, un schéma d'ordre 1 de résolution numérique des équations différentielles.