Longueur d'onde thermique de de Broglie

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La longueur d'onde thermique de de Broglie est un concept de la physique statistique et de la mécanique quantique. C'est une grandeur statistique et elle représente la longueur d'onde de de Broglie moyenne des particules d'un gaz porté à une certaine température. Cette longueur d'onde thermique caractérise l'étalement spatial de la particule associée et le lien entre la mécanique classique et la mécanique quantique.

Definition[modifier | modifier le code]

Particules massives[modifier | modifier le code]

D'après le principe de la dualité onde-corpuscule, une particule possédant une quantité de mouvement p peut se voir associée une longueur d'onde de \lambda=h/p, h étant la constante de Planck. Une particule peut être traitée comme une onde avec pour longueur d'onde celle de De Broglie. Pour un gaz porté à une température T, l'énergie typique d'une particule est de l'ordre de k_{\rm B} T, kB étant la constante de Boltzmann. La relation entre énergie E et quantité de mouvement d'une particule libre non relativiste de masse m étant E = p^2 / 2 m, on peut alors définir la longueur d'onde thermique de De Broglie  \lambda_{\rm th} d'une particule massique en équilibre d'un gaz comme :

\lambda_{\rm th} =\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_\mathrm{B}T}}=\sqrt{\frac{2\pi \hbar^2}{m k_\mathrm{B}T}},

selon que l'on utilise la constante de Planck (h) ou la constante de Planck réduite (\hbar).

Le facteur numérique 1/\sqrt{2 \pi} apparaît a priori arbitraire (il ne correspond pas à la longueur d'onde de De Broglie telle que définie d'ordinaire), et est défini conventionnellement à cette valeur.

Particules sans masse[modifier | modifier le code]

Sens physique[modifier | modifier le code]

La longueur thermique de de Broglie représente un moyen pour déterminer si le système doit être considéré de manière quantique ou classique. En effet, les effets quantiques commencent à être importants lorsque la longueur d'onde thermique de de Broglie devient comparable avec les autres longueurs caractéristiques du système, comme le libre parcours moyen d'une particule, ou le volume du système. En particulier, sa valeur apparaît dans le calcul explicite où l'on regarde l'effet des corrections quantiques dans la définition des états d'énergie des particules d'un gaz confinées dans un volume V donné. En mécanique quantique, les énergies possibles des particules sont quantifiées, alors qu'en mécanique classique on suppose implicitement que toutes les valeurs d'énergies sont possibles. La grandeur physique qui importe ici est ce que l'on appelle la fonction de partition, que l'on peut calculer soit dans le cas classique, soit dans le cas quantique. Les calculs indiquent que les deux fonctions de partition diffèrent d'un quantité proportionnelle à

\frac{1}{2 m k_{\rm B} T} \frac{\hbar^2 \pi^2}{V^\frac{2}{3}} \sim \left(\frac{\lambda_{\rm th}}{L}\right)^\frac{2}{3},

le volume considéré étant supposé cubique de longueur L.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]