Loi du logarithme itéré

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Simulation de l'écart entre la moyenne de variables de Bernoulli et leur espérance en fonction de n

La loi du logarithme itéré est un résultat de convergence presque sûre de la limite supérieure et de la limite inférieure d'une moyenne de variables aléatoires réelles. Bien qu'elle établisse une divergence, puisque les deux limites ne sont pas égales, la loi du logarithme itéré peut être considérée comme un résultat intermédiaire entre la loi des grands nombres et le théorème central limite. Elle est due à Khintchine (1924)[1] qui l'obtint pour des variables de Bernoulli.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit (X_n)_{n\in\N^*} une suite de variables aléatoires réelles i.i.d. possédant un moment d'ordre 2 fini.

En notant  \mu leur espérance,  \sigma leur écart-type supposé non nul et en posant \overline{X}_n := \frac{X_1+\cdots+X_n}{n},

nous avons les deux égalités suivantes :


    \limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}\big(\overline{X}_n-\mu\big)}{\sigma\sqrt{2 \log\log n}} = 1, \qquad \text{presque sûrement,}

et


    \liminf_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}\big(\overline{X}_n-\mu\big)}{\sigma\sqrt{2 \log\log n}} = -1. \qquad \text{presque sûrement.}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. A. Khinchine. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Fundamenta Mathematica, 6:9-20, 1924.