Loi de probabilité marginale

En théorie des probabilités et en statistique, la loi marginale d'un vecteur aléatoire, c'est-à-dire d'une variable aléatoire à plusieurs dimensions, est la loi de probabilité d'une de ses composantes. Autrement dit, la loi marginale est une variable aléatoire obtenue par « projection » d'un vecteur contenant cette variable.

Par exemple, pour un vecteur aléatoire $(X_{1},X_{2},X_{3})$ , la loi de la variable aléatoire $X_{2}$ est la deuxième loi marginale du vecteur.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour obtenir la loi marginale d'un vecteur, on projette la loi sur l'espace unidimensionnel de la coordonnée recherchée. La loi de probabilité de la i-ème coordonnée d'un vecteur aléatoire est appelée la i-ème loi marginale. La loi marginale $\mathbb {P} _{i}$ de $\mathbb {P}$ s'obtient par la formule :

\mathbb {P} _{i}(A)=\mathbb {P} _{X_{i}}(A)=\iint {1}_{\omega _{i}\in A}\,\mathbb {P} (\mathrm {d} (\omega _{1},\dots ,\omega _{n}))

pour tout

A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )

.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de l'espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {E}},p)$ vers l'espace mesurable $(F,{\mathcal {F}})$ et $B\in {\mathcal {F}}$ .

Les lois de probabilité marginales du vecteur aléatoire $Z=(X,Y)$ sont les lois de probabilité de $X$ et de $Y$ . On traite ici celle de $X$ (la méthode est la même pour celle de $Y$ ). D'après le théorème des probabilités totales, elle est liée à la loi de probabilité conditionnelle :

\mathbb {P} _{X}(B)=\int _{\Omega }\mathbb {P} (X^{-1}\langle B\rangle \cap \mathrm {d} \omega _{Y})=\int _{F}\mathbb {P} _{(X,Y)}(B,\mathrm {d} y).

Exemples[modifier | modifier le code]

Loi discrète[modifier | modifier le code]

Si $Y$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable $S\subset F$ , alors :

\mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{y\in S}\mathbb {P} _{(X,Y)}(B,\{y\}).

C'est notamment le cas quand $S$ est fini. En notant $y_{1},\dots ,y_{n}$ ses valeurs et $\mathbb {P} _{X,1}(B),\dots ,\mathbb {P} _{X,n}(B)$ les probabilités $\mathbb {P} _{X,Y}(B,\{y_{1}\}),\dots ,\mathbb {P} _{X,Y}(B,\{y_{n}\})$ , la loi de probabilité devient :

\mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} _{X,i}(B).

Le tableau suivant donne un exemple. On a marqué les probabilités que X = x_i et Y = y_j. La loi marginale pour X donne les probabilités que X = x_i. Elle est donnée sur la dernière ligne. Par exemple, la probabilité que X = x₁ est obtenue en sommant les probabilités d'avoir X = x₁ et Y = y₁, X = x₁ et Y = y₂, et X = x₁ et Y = y₃. Ainsi, on a $16 / 32$ = $4 / 32$ + $3 / 32$ + $9 / 32$ . De même, la loi marginale pour Y est donné dans la dernière colonne.

p_X(x) →	$16 / 32$	$8 / 32$	$4 / 32$	$4 / 32$	$32 / 32$
	x₁	x₂	x₃	x₄	p_Y(y) ↓
y₁	$4 / 32$	$2 / 32$	$1 / 32$	$1 / 32$	$8 / 32$
y₂	$3 / 32$	$6 / 32$	$3 / 32$	$3 / 32$	$15 / 32$
y₃	$9 / 32$	0	0	0	$9 / 32$

Loi absolument continue[modifier | modifier le code]

Les lois marginales d'une loi absolument continue s'expriment à l'aide de leurs densités marginales par les formules :

{\begin{aligned}f_{X}(x)&=\int _{\mathbb {R} }\ f_{Z}(x,y)\,\mathrm {d} y,\\f_{Y}(y)&=\int _{\mathbb {R} }\ f_{Z}(x,y)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}

où $f_{Z}$ est la densité de probabilité du vecteur $Z$ .

De manière plus générale, si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires absolument continues, de densité de probabilité conjointe $f_{(X,Y)}$ par rapport à une mesure $\sigma$ -finie $\mu$ sur $(F,{\mathcal {F}})$ , alors :