Loi de distribution des vitesses de Maxwell

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En théorie cinétique des gaz, la loi de distribution de vitesses de Maxwell quantifie la répartition des molécules entre les différentes vitesses dans un gaz à l'équilibre thermodynamique global à la température uniforme, cette répartition étant exponentielle.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Distribution des vitesses de molécules d'oxygène, à -100°C, 20°C et 600°C

Notons P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] la densité de distribution des vitesses vectorielles, calculée en \vec{v_0}, et P[v \simeq v_0] la densité relative aux normes de ces vitesses. Alors :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} e^{- \frac{m v_0^2}{2 k_B T}} dv^3
P[v \simeq v_0] = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v_0^2 \, e^{- \frac{m v_0^2}{2 k_B T}} dv

Preuve[modifier | modifier le code]

Méthode 1 : Utilisation de la physique statistique[modifier | modifier le code]

En Physique statistique, on est capable de calculer la loi de distribution de Maxwell-Boltzmann à l'aide de la densité de probabilité canonique que l'on note W(p_i,q_i). On considère dans notre cas, un gaz parfait constitué de N particules , et donc l'énergie totale du système est donnée par l'hamiltonien purement cinétique :

\mathcal{H}=\mathcal{T}=\sum_{i=1}^{3N}\frac{p_i^2}{2m}

Note : les pi sont les moments conjugués des particules tel que (p1,p2,p3) définissent les trois composantes de la quantité de mouvement de la première particule (c'est pour cela que la somation va de 1 à 3N, et non de 1 à N). Il en va de même pour les qi qui sont les coordonnées généralisées : (q1,q2,q3) définissent la position de la première particule. (Voir l'article sur la mécanique hamiltonienne).

Donc la densité de probabilité canonique est donnée par :

W(p_i,q_i)=\frac{1}{Z}e^{-\beta \mathcal{H}}=\frac{1}{Z}e^{-\beta \sum_{i=1}^{3N}\frac{p_i^2}{2m}}

(Z est la fonction de partition, ou fonction de renormalisation).

Or, si nous voulons la densité de probabilité du module de la vitesse, il faut poser |p|^2_i=\sum_{j=i}^{i+3} p_j^2 pour avoir la norme au carré des quantités de mouvement. Ainsi il suffit de sommer tous les modules de p, et non toutes les composantes :

W(|p|_i,q_i)=\frac{1}{Z}e^{-\beta \sum_{i=1}^{N}\frac{|p|_i^2}{2m}}.

Si nous voulons calculer la densité de probabilité pour une impulsion donnée, il suffit de sommer les contributions de p2,...,pN et de q1,...,q3N (bref, on somme sur tout sauf p1, la quantité dont on veut la densité de probabilité) :

W(|p|_1)=\int W(|p|_i,q_i) d^{3N}q_i |p|_i^{2N}d^{N-1}|p|_i\sin\theta_id^N\theta_id^N\varphi_i (en effet, il ne faut pas oublier qu'en calculant les modules de p, il faut se projeter dans la base sphérique : c'est pour cela que l'on a des contributions en \theta et \varphi). Après calculs on obtient :

W(p)=\frac{1}{Z'}p^2e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} tel que \int W(p) dpdq=1, donc Z'=\int_{0}^{+\infty}p^2e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}dp=\frac{m}{2\beta}\sqrt{\frac{2m\pi}{\beta}}=\frac{1}{4\pi}(2\pi mk_BT)^{3/2} (avec \beta=1/k_BT). On trouve donc que :

W(p)=\frac{4\pi p^2}{(2mk_BT)^{3/2}}e^{-\beta\frac{p^2}{2m}}. Pour obtenir W(v) (densité de probabilité pour le module de la vitesse d'une particule de gaz parfait), il faut procéder au changement de variable p=mv en vérifiant le théorème de Liouville qui implique la conservation du volume de densité : W(v)dv=W(p)dp\Leftrightarrow W(v)=\frac{dp}{dv}W(p)=mW(p). Ainsi, on trouve finalement :

W(v)=4\pi v^2\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}, ce qui est bien la distribution de Maxwell-Boltzmann.

Méthode 2 : Établissement de l'équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une des molécules du gaz et à mesurer sa vitesse \vec{v}. Soit \vec{v_0} une vitesse fixée.

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = P[(v_x \in [v_{0_x}, v_{0_x} + dv]) \cap (v_y \in [v_{0_y}, v_{0_y} + dv]) \cap (v_z \in [v_{0_z}, v_{0_z} + dv])]

Or sous hypothèse d'entropie maximale les variables aléatoires v_x, v_y et v_z sont indépendantes et on peut alors écrire :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = P[v_x \in [v_{0_x}, v_{0_x} + dv]] \times P[v_y \in [v_{0_y}, v_{0_y} + dv]] \times P[v_z \in [v_{0_z}, v_{0_z} + dv]]

Or sous hypothèse d'isotropie les lois de probabilité de v_x, v_y et v_z sont identiques et donc :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = P[v_x \in [v_{0_x}, v_{0_x} + dv]] \times P[v_x \in [v_{0_y}, v_{0_y} + dv]] \times P[v_x \in [v_{0_z}, v_{0_z} + dv]]

Ce qui s'écrit encore, avec f la densité de v_x :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = f(v_{0_x})f(v_{0_y})f(v_{0_z})dv^3

Or sous hypothèse d'isotropie la probabilité que \vec{v} \simeq \vec{v_0} ne peut dépendre que de la norme de \vec{v_0} ; autrement dit :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = P[\vec{v} \simeq \begin{pmatrix} v_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}]

C'est-à-dire en utilisant la relation ci-dessus :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = f(v_0)(f(0))^2 dv^3

En égalisant les deux expressions trouvées pour P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}], on peut alors écrire une propriété de f :

\forall (a,b,c) \in \R^3, f(a)f(b)f(c) = f(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})f^2(0)

Résolution de l'équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

En posant : \forall x \in \R_+, g(x) = f(\sqrt{x}), et en prenant c=0, il vient :

\forall (a,b) \in \R^2, g(a^2)g(b^2) = g(a^2 + b^2)f(0)

C'est-à-dire, en supposant f(0) \neq 0

\forall (a,b) \in \R^2, \frac{g(a^2)}{f(0)} \times \frac{g(b^2)}{f(0)} = \frac{g(a^2 + b^2)}{f(0)}

où l'on reconnaît que la fonction x^2 \mapsto g(x^2)/f(0) est une exponentielle, c'est-à-dire :

\exists \lambda \in \R / \forall x \in \R, g(x^2) = f(0) e^{-\lambda x^2}

Donc, puisque \forall x \in \R, f(x) = g(x^2), il vient :

\forall x \in \R, f(x) = f(0) e^{-\lambda x^2}

Détermination des coefficients[modifier | modifier le code]

Pour déterminer les coefficients f(0) et \lambda, écrivons d'abord :

P[v_x \in \R] = 1

c'est-à-dire :

\int_{\R} f(0)e^{-\lambda x^2} dx = 1

c'est-à-dire en utilisant la symétrie et en changeant de variable :

\frac{2f(0)}{\sqrt{\lambda}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = 1

en calculant l'intégrale il vient :

f(0)\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} = 1

Intéressons-nous désormais à l'énergie cinétique <K> moyenne d'une molécule de gaz. Elle s'écrit naturellement :

<K> = \frac{1}{2}m<v^2>

m est la masse d'une molécule de gaz et <v^2> l'espérance de la variable aléatoire \vec{v}^2. On a évidemment <v^2> = <v_x^2 + v_y^2 + v_z^2>. En utilisant l'indépendance des variables aléatoires il vient : <v^2> = <v_x^2> + <v_y^2> + <v_z^2> ; et sous hypothèse d'isotropie on a alors :

<v^2> = 3<v_x^2>.

Or on connaît la densité f de v_x donc on peut écrire :

<v_x^2> = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx = 2 f(0) \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-\lambda x^2} dx

On utilise un changement de variable :

<v_x^2> = \frac{f(0)}{\lambda\sqrt{\lambda}} \int_{0}^{+\infty} \sqrt{x}e^{-x} dx = \frac{1}{2} \frac{f(0)}{\lambda} \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}

et donc en utilisant f(0)\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} = 1 comme montré ci-dessus :

<v_x^2> = \frac{1}{2\lambda}

En reportant dans l'expression de <K> il vient :

<K> = \frac{3}{2} \frac{m}{2\lambda}

Or on peut écrire d'autre part :

<K> = \frac{3}{2}k_B T

avec T la température du gaz. En égalisant ces deux expressions de <K> on obtient :

\lambda = \frac{m}{2 k_B T}

En reportant dans l'expression de f(0) il vient :

f(0) = \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}} = \sqrt {\frac{m}{2 \pi k_B T}}

Conclusion[modifier | modifier le code]

On a donc montré :

\forall x \in \R, f(x) = \sqrt {\frac{m}{2 \pi k_B T}} e^{- \frac{m x^2}{2 k_B T}}

On en déduit :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = f(v_0) f^2 (0) dv^3 = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} e^{- \frac{m v_0^2}{2 k_B T}} dv^3

Enfin, pour en déduire la distribution relative aux normes des vitesses, il suffit d'intégrer la distribution précédente sur la sphère de rayon v_0. Comme l'aire de cette sphère est 4\pi v_0^2 et que la distribution vectorielle ne dépend que de la norme de v_0, on obtient :

P[v \simeq v_0] = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v_0^2 \, e^{- \frac{m v_0^2}{2 k_B T}} dv

Autres dérivations[modifier | modifier le code]

  • Elle peut aussi être obtenue comme l'unique solution stationnaire de l'équation de Boltzmann décrivant un gaz hors d'équilibre.

Vitesse moyenne[modifier | modifier le code]

Il y a trois façons de définir une vitesse moyenne relative à la distribution de Maxwell, de densité P(v) = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v^2 \, e^{- \frac{m v^2}{2 k_B T}} :

  1. La vitesse la plus probable est celle pour laquelle P(v) est maximale. Elle vaut \sqrt{\frac{2 k_B T}{m}}.
  2. La vitesse moyenne arithmétique vaut \int_0^\infty v P(v) \mathrm{d}v = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m} }.
  3. La moyenne quadratique vaut \sqrt{\int_0^\infty v^2 P(v) \mathrm{d}v} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m} }.

La dernière vitesse moyenne a un sens physique direct lié à l'énergie cinétique moyenne d'une molécule du gaz, à savoir \frac{3k_BT}{2}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]