Loi de distribution des vitesses de Maxwell

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En théorie cinétique des gaz, la loi de distribution de vitesses de Maxwell quantifie la répartition des molécules entre les différentes vitesses dans un gaz à l'équilibre thermodynamique global à la température uniforme, cette répartition étant exponentielle.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Distribution des vitesses de molécules d'oxygène, à -100°C, 20°C et 600°C

Notons P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] la densité de distribution des vitesses vectorielles, calculée en \vec{v_0}, et P[v \simeq v_0] la densité relative aux normes de ces vitesses. Alors :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} e^{- \frac{m v_0^2}{2 k_B T}} dv^3
P[v \simeq v_0] = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v_0^2 \, e^{- \frac{m v_0^2}{2 k_B T}} dv

Preuve[modifier | modifier le code]

Établissement de l'équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une des molécules du gaz et à mesurer sa vitesse \vec{v}. Soit \vec{v_0} une vitesse fixée.

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = P[(v_x \in [v_{0_x}, v_{0_x} + dv]) \cap (v_y \in [v_{0_y}, v_{0_y} + dv]) \cap (v_z \in [v_{0_z}, v_{0_z} + dv])]

Or sous hypothèse d'entropie maximale les variables aléatoires v_x, v_y et v_z sont indépendantes et on peut alors écrire :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = P[v_x \in [v_{0_x}, v_{0_x} + dv]] \times P[v_y \in [v_{0_y}, v_{0_y} + dv]] \times P[v_z \in [v_{0_z}, v_{0_z} + dv]]

Or sous hypothèse d'isotropie les lois de probabilité de v_x, v_y et v_z sont identiques et donc :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = P[v_x \in [v_{0_x}, v_{0_x} + dv]] \times P[v_x \in [v_{0_y}, v_{0_y} + dv]] \times P[v_x \in [v_{0_z}, v_{0_z} + dv]]

Ce qui s'écrit encore, avec f la densité de v_x :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = f(v_{0_x})f(v_{0_y})f(v_{0_z})dv^3

Or sous hypothèse d'isotropie la probabilité que \vec{v} \simeq \vec{v_0} ne peut dépendre que de la norme de \vec{v_0} ; autrement dit :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = P[\vec{v} \simeq \begin{pmatrix} v_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}]

C'est-à-dire en utilisant la relation ci-dessus :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = f(v_0)(f(0))^2 dv^3

En égalisant les deux expressions trouvées pour P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}], on peut alors écrire une propriété de f :

\forall (a,b,c) \in \R^3, f(a)f(b)f(c) = f(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})f^2(0)

Résolution de l'équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

En posant : \forall x \in \R_+, g(x) = f(\sqrt{x}), et en prenant c=0, il vient :

\forall (a,b) \in \R^2, g(a^2)g(b^2) = g(a^2 + b^2)f(0)

C'est-à-dire, en supposant f(0) \neq 0

\forall (a,b) \in \R^2, \frac{g(a^2)}{f(0)} \times \frac{g(b^2)}{f(0)} = \frac{g(a^2 + b^2)}{f(0)}

où l'on reconnaît que la fonction x^2 \mapsto g(x^2)/f(0) est une exponentielle, c'est-à-dire :

\exists \lambda \in \R / \forall x \in \R, g(x^2) = f(0) e^{-\lambda x^2}

Donc, puisque \forall x \in \R, f(x) = g(x^2), il vient :

\forall x \in \R, f(x) = f(0) e^{-\lambda x^2}

Détermination des coefficients[modifier | modifier le code]

Pour déterminer les coefficients f(0) et \lambda, écrivons d'abord :

P[v_x \in \R] = 1

c'est-à-dire :

\int_{\R} f(0)e^{-\lambda x^2} dx = 1

c'est-à-dire en utilisant la symétrie et en changeant de variable :

\frac{2f(0)}{\sqrt{\lambda}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = 1

en calculant l'intégrale il vient :

f(0)\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} = 1

Intéressons-nous désormais à l'énergie cinétique <K> moyenne d'une molécule de gaz. Elle s'écrit naturellement :

<K> = \frac{1}{2}m<v^2>

m est la masse d'une molécule de gaz et <v^2> l'espérance de la variable aléatoire \vec{v}^2. On a évidemment <v^2> = <v_x^2 + v_y^2 + v_z^2>. En utilisant l'indépendance des variables aléatoires il vient : <v^2> = <v_x^2> + <v_y^2> + <v_z^2> ; et sous hypothèse d'isotropie on a alors :

<v^2> = 3<v_x^2>.

Or on connaît la densité f de v_x donc on peut écrire :

<v_x^2> = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx = 2 f(0) \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-\lambda x^2} dx

On utilise un changement de variable :

<v_x^2> = \frac{f(0)}{\lambda\sqrt{\lambda}} \int_{0}^{+\infty} \sqrt{x}e^{-x} dx = \frac{1}{2} \frac{f(0)}{\lambda} \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}

et donc en utilisant f(0)\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} = 1 comme montré ci-dessus :

<v_x^2> = \frac{1}{2\lambda}

En reportant dans l'expression de <K> il vient :

<K> = \frac{3}{2} \frac{m}{2\lambda}

Or on peut écrire d'autre part :

<K> = \frac{3}{2}k_B T

avec T la température du gaz. En égalisant ces deux expressions de <K> on obtient :

\lambda = \frac{m}{2 k_B T}

En reportant dans l'expression de f(0) il vient :

f(0) = \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}} = \sqrt {\frac{m}{2 \pi k_B T}}

Conclusion[modifier | modifier le code]

On a donc montré :

\forall x \in \R, f(x) = \sqrt {\frac{m}{2 \pi k_B T}} e^{- \frac{m x^2}{2 k_B T}}

On en déduit :

P[\vec{v} \simeq \vec{v_0}] = f(v_0) f^2 (0) dv^3 = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} e^{- \frac{m v_0^2}{2 k_B T}} dv^3

Enfin, pour en déduire la distribution relative aux normes des vitesses, il suffit d'intégrer la distribution précédente sur la sphère de rayon v_0. Comme l'aire de cette sphère est 4\pi v_0^2 et que la distribution vectorielle ne dépend que de la norme de v_0, on obtient :

P[v \simeq v_0] = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v_0^2 \, e^{- \frac{m v_0^2}{2 k_B T}} dv

Autres dérivations[modifier | modifier le code]

  • Elle peut aussi être obtenue comme l'unique solution stationnaire de l'équation de Boltzmann décrivant un gaz hors d'équilibre.

Vitesse moyenne[modifier | modifier le code]

Il y a trois façons de définir une vitesse moyenne relative à la distribution de Maxwell, de densité P(v) = \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v^2 \, e^{- \frac{m v^2}{2 k_B T}} :

  1. La vitesse la plus probable est celle pour laquelle P(v) est maximale. Elle vaut \sqrt{\frac{2 k_B T}{m}}.
  2. La vitesse moyenne arithmétique vaut \int_0^\infty v P(v) \mathrm{d}v = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m} }.
  3. La moyenne quadratique vaut \sqrt{\int_0^\infty v^2 P(v) \mathrm{d}v} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m} }.

La dernière vitesse moyenne a un sens physique direct lié à l'énergie cinétique moyenne d'une molécule du gaz, à savoir \frac{3k_BT}{2}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]